Demostrando que la energía libre es extensiva

Si tengo dos sistemas de un gas Ideal$A$y$B$cada uno de estos sistemas tiene una función de partición:

$Z_{A,B} = \left ( \frac{V_{A,B}}{\lambda_T} \right )^{N_{A,B}}$

Dónde:

$\lambda_T = \left ( \frac{m}{2\pi\beta \hbar } \right )^{\frac{1}{2}}$

La energía libre es:

$F_{A,B} = -kT \ln \left ( Z_{A,B} \right ) = -kT N_{A,B}\ln \left (\frac{V_{A,B}}{\lambda_T}\right)$

Para que la energía libre sea extensiva debe cumplirse lo siguiente:

$F_{A} + F_B = F_{A+B} \Rightarrow Z_A \cdot Z_B = Z_{A+B}$

Sin embargo:

$Z_A \cdot Z_B = \left (\frac{V_A}{\lambda_T} \right )^{N_A} \left ( \frac{V_B}{\lambda_T} \right)^{N_B}$

y:

$Z_{A+B} = \left ( \frac{V_{A+B}}{\lambda_T} \right )^{N_A + N_B}$

Entonces, para$Z_A + Z_B = Z_{A+B}$a decir verdad$V_A^{N_A} V_{B}^{N_B} = \left(V_A + V_B \right)^{N_A + N_B}$debe ser cierto también, pero esto no es cierto para ningún sistema.

Dado que no podemos crear energía mezclando dos recipientes de argón a la misma presión y temperatura, entiendo que algo está mal. ¿Dónde está mi culpa?