Modelo Sigma supersimétrico

Estaba trabajando en el libro Mirror Symmetry del Clay Math Institute. Se trata del modelo sigma supersimétrico en la sección 10.4. No se deriva cómo la acción es invariante bajo la variación. Me estoy esforzando mucho, pero atascado en algunos lugares. El Lagrangiano y la variación se dan en la siguiente imagen.

He dado el lagrangiano, si uno no tiene la copia electrónica del libro.

Escriba ecuaciones en lugar de pegar imágenes. Las imágenes hacen que la edición sea imposible, sufren la posibilidad de que se rompan los enlaces, son más difíciles de leer y no se pueden buscar.
@DanielSank: Mis disculpas, ingresaré las ecuaciones a partir de ahora.
Sugerencia: comience con un espacio plano y confirme la invariancia de este límite que no interactúa. Ahora promueva a una hiperesfera, el primitivo modelo σ hiperesférico. La métrica, Christoffels y la curvatura son funciones muy simples que puede manipular directamente. Solo entonces, moleste con la variedad Riemanniana completa y recuerde las identidades estándar aplicables.

Respuestas (2)

Mostrar la invariancia de la supersimetría de los modelos sigma no lineales SUSY requiere el uso de varias identidades de la geometría diferencial; en particular, la derivada (espacio objetivo) de la métrica está relacionada con el símbolo de Christoffel, y la derivada del símbolo de Christoffel está relacionada con el tensor de curvatura de Riemann. Además de estos, hay varias otras identidades geométricas útiles, consulte el Capítulo 7 y el Capítulo 8 de Geometría, topología y física de Nakahara para conocerlas. Por ejemplo, es bastante común que la variación supersimétrica de la acción dé cantidades que son simétricas bajo el intercambio de dos índices covariantes (debido a alguna identidad geométrica diferencial), y cuando estos índices se contraen con los índices contravariantes de dos índices fermiónicos idénticos. campos, la cantidad resultante es cero,

El OP ha mencionado el caso de un modelo 1d SUSY sigma, también llamado mecánica cuántica supersimétrica, pero puntos similares a los del párrafo anterior deberían ser válidos para todos los modelos SUSY sigma.

Trabajé en esto para mi tesis. El signo negativo delante del tensor de curvatura de Riemann debe ser un signo positivo, si está utilizando la convención de signos positivos para el tensor de curvatura de Riemann, es decir, la definición utilizada en MTW. Puede verificar esto usando un formalismo Superfield. Para mostrar que el Lagrangiano L es invariante, tome la variación de L. Puede asumir un tensor métrico simétrico y coordenadas normales, es decir, la primera derivada del tensor métrico es siempre cero pero las derivadas superiores pueden no ser cero, para simplificar los cálculos. A continuación, utilice las relaciones SUSY para simplificar. Luego, separe los términos por el número de variables fermiónicas, ya que solo pueden cancelarse con otros términos de la misma cantidad. Luego usa definiciones, integración por partes, simetría del tensor métrico, y la antisimetría de las variables fermiónicas para mostrar que todo va a cero. Espero que esto ayude.

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