Cálculo de las derivadas de un lagrangiano sobre una variedad riemanniana

Considere un$Riemannian\space n-dimensional\space manifold$con coordenadas {$x^i$}$(i=1,...,n)$. Sea el parámetro de longitud de arco$t$. De modo que$\frac{d}{dt}x^i(t)\equiv\dot{x}^i(t)$es el vector tangente habitual a lo largo de la curva$x^i(t)$. Sobre esta variedad, consideramos prescribir la siguiente teoría que se compone de$n$variables bosónicas y$n$variables fermiónicas {$\psi^i$} y sus conjugados {$\bar{\psi}^i$}:

$$L=\frac{1}{2}g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j+\frac{i}{2}g_{ij}\bigl(\bar{\psi}^iD_t\psi^j-D_t\bar{\psi}^i\psi^j\bigr)-\frac{1}{4}R_{ijkl}\psi^i\psi^j\bar{\psi}^k\bar{\psi}^l. \tag{1}$$ Los términos del tensor de Riemann se explican por sí mismos y $D_t$es la derivada covariante: $$D_t\psi^i=\partial_t\psi^i+\dot{x}^j\Gamma^i_{jk}\psi^k. \tag{2}$$ Consulta 1: Tengo problemas para entender esta derivada covariante. Me encuentro con la siguiente paradoja. $D_t$es simplemente la derivada direccional a lo largo de una curva en la variedad. Entonces puedo usar la regla de la cadena para escribir: $$D_t\psi^i=\dot{x}^jD_j\psi^i. \tag{3}$$ Ahora bien, el lagrangiano es un escalar y, por lo tanto, puedo deducir que los fermiones con los índices elevados deben ser vectores, porque solo entonces el último término en (1) resulta un escalar. Entonces, los índices elevados sobre los fermiones deben ser índices contravariantes. Luego, usando la regla para su diferenciación covariante que tengo de la relación anterior: $$D_t\psi^i=\dot{x}^j\bigl(\partial_j\psi^i+\Gamma^i_{jk}\psi^k\bigr)=\dot{x}^j\partial_j\psi^i+\dot{x}^j\Gamma^i_{jk}\psi^k. \tag{4}$$ Aparentemente, el penúltimo término anterior es solo: $$\dot{x}^j\partial_j\psi^j=\partial_t\psi^i. \tag{5}$$ Y entonces $(3)$sale en consonancia con $(2)$. Lo que me molesta es que (por lo que entiendo :) los fermiones y los bosones son entidades independientes, por lo que la derivada bosónica del fermión debe desaparecer: $$\partial_j\psi^i=0. \tag{6}$$ Ese es el problema, por ahora. $(2)$y $(3)$ya no son coherentes entre sí.
Consulta 2: Considere calcular las derivadas parciales del Lagrangiano, es decir: $$\frac{\partial L}{\partial x^m},\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^m},\frac{\partial L}{\partial \psi ^m},\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi}^m}\frac{\partial L}{\partial\bar{\psi}^m},\frac{\partial L}{\partial \dot{\bar{\psi}}^m}. \tag{7}$$ Entonces, una forma de ver esto es usar $(2)$en $(1)$y proceda de la manera habitual, tomando $x^i$, $\dot{x}^i$, $\psi^i$, $\dot{\psi}^i$, $\bar{\psi}^i$, $\dot{\bar{\psi}}^i$ser entidades independientes, es decir, posiciones y velocidades bosónicas, y posiciones y velocidades fermiónicas. La otra es ver las derivadas covariantes fermiónicas en $(1)$como entidades que son independientes de las velocidades bosónicas $\dot{x}^m$(por ejemplo), de modo que el operador derivado para la velocidad bosónica $\frac{\partial}{\partial \dot{x}^m}$no entrará en la expresión para $D_t\psi^i$Quiero decir, ¿el $\dot{x}^m$dependencia en (2) cuenta como una dependencia explícita (por lo que $\frac{\partial}{\partial \dot{x}^m}$entra) o una dependencia implícita (de modo que $\frac{\partial}{\partial \dot{x}^m}$no entra)? Amablemente ayuda