Pregunta de óptica cuántica que involucra estados coherentes

Dados los estados coherentes de la óptica cuántica

$|\alpha \rangle = \exp \Big(-\frac{|\alpha|^2}{2}\Big) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} |n \rangle$

Muestra esa

$\langle (\Delta X)^2 \rangle_{\alpha} = \langle (\Delta P)^2 \rangle_{\alpha} = \frac 1 4$

Dónde

$|n \rangle$son los estados del número de fotones

$X=\frac{a+a^*}{2}$

$P=\frac{a-a^*}{2i}$

$a|\alpha \rangle = \alpha |\alpha \rangle$

Mi intento:

$|\alpha \rangle = \exp \Big(-\frac{|\alpha|^2}{2}\Big) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} |n \rangle$

He tratado de cuadrar$\Delta X$y$\Delta P$comparar y pero no son iguales

Tengo que decir que estoy bastante perdido aquí y agradecería una pista.

He estudiado estados coherentes y sé probar algunas propiedades relacionadas con él.

Por ejemplo, veo cómo probar que el estado está normalizado:

$\langle \alpha|\alpha \rangle = \exp(-|\alpha|^2) \Big(\sum_{m=0}^{\infty} \langle m| \frac{\alpha^{*m}}{\sqrt{m!}}\Big) \Big(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}|n\rangle \Big)$

Residencia en$\langle m | n \rangle = \delta_{mn}$de hecho conseguimos$\langle \alpha | \alpha \rangle = 1$