Dejar caer un peso en una báscula de resorte

Si supone que la báscula funciona como un resorte, lo que parece razonable, entonces durante el uso estándar, el desplazamiento$x$de la escala es proporcional a la masa$m$. La relación de equilibrio es

$$mg=kx,\tag{1}$$ dónde $k$es la rigidez del resorte.

Asumiendo que, cuando dejas caer una masa$M$desde una altura$h$, toda la energía cinética (que es igual a$Mgh$porque se ha convertido de energía potencial) se convierte en energía elástica, tenemos la relación

$$Mgh=\frac12kx^2.\tag{2}$$ La relación entre la masa medida $m$y la masa real $M$es, por lo tanto $$M=\frac{1}{2}\frac{gm^2}{kh}.$$ Bajo todas estas suposiciones, encontramos que la rigidez del resorte es $k=\frac12\frac gh\frac{m^2}{M}$.

Respuesta propuesta : la rigidez del resorte influye en el valor momentáneamente mostrado; cuanto más rígido, más alto. Para un resorte inusualmente suave (lo suficientemente suave como para que la escala baje aproximadamente$5$cm o más cuando un adulto lo pisa), el siguiente análisis podría permitir una estimación de la rigidez del resorte. Pero con una báscula de baño mecánica normal, el método no se puede utilizar; no tendremos tiempo para hacer la lectura, estaría muy fuera de escala o sería inútil, y es probable que el experimento dañe la escala a menos que, o la masa, sea blanda o elástica. La lectura realmente depende mucho de la masa de las partes móviles de la báscula y de lo que sucede con la energía en el impacto: eso podría perderse en daños permanentes a la superficie de la báscula o de la masa caída; o podría almacenarse como una deformación de la masa o de la superficie de la balanza, más que como una deformación del resorte de la balanza; en cuyo caso la lectura es de poca utilidad para estimar la rigidez del resorte.

---

Con suerte, esto mejora una aproximación hecha en la otra respuesta , mientras usa la misma hipótesis (dudosa en la práctica) que

1. la báscula no tiene amortiguación ni fricción
2. no se pierde energía cuando la masa impacta en la báscula
3. el mecanismo de movimiento de la báscula tiene una masa insignificante en comparación con la masa que se deja caer

Uso la misma notación excepto por la lectura máxima de la escala que cambio el nombre$R$(en vez de$m$, lo cual es confuso ya que$m\gg M$en la práctica).

• $M=5$kg masa del objeto
• $R$   lectura más alta mostrada por la báscula (en kg)
• $x$   desplazamiento máximo correspondiente de la escala desde el contacto (en m)
• $h=1$m altura de caída desde la superficie de la escala antes del contacto
• $g=9.81$N/kg gravedad de la Tierra (tanto local como asumida por el fabricante de la báscula)
• $k$   rigidez del resorte (en N/m)

La escala es tal que

$$R\;g\;=\;k\;x$$ Cuando la escala muestra $R$, toda la energía de la masa que cae desde la altura $h$luego hacia abajo $x$se almacena en la primavera, por lo que $$M\;g\;(h+x)\;=\;{1\over2}\;k\;x^2$$

eliminando$x$, obtenemos

$$2\;M\;(k\;h+R\;g)\;=\;R^2\;g$$

cuando enchufamos$h=0$resulta que$R=2M$(hay un exceso temporal; eso es normal, y en la práctica la báscula se estabilizará entre su lectura inicial de$0$y su lectura máxima de$2M$, a la media de eso,$M$, como se esperaba).

La rigidez del resorte es por lo tanto

$$k\;=\;{R\;g\;(R-2\;M)\over2\;M\;h}$$

Debido a que las hipótesis formuladas son tan poco realistas, debemos tomar cualquier resultado con mucha precaución y cotejarlo; tal vez reduciendo$h$, o mejor, intentando medir cuánto baja la báscula bajo algún peso (eso sería difícil de medir, pero la mayor parte del error proviene de esa medida, por lo tanto, está acotada de manera confiable). Además de eso, un error relativo en$R$está obligado a causar un error relativo peor que dos veces mayor en$k$, empeorando mucho cuando$R$es menos de un par de veces$M$.

---

Resolviendo la ecuación para$R>0$obtenemos

$$R\;=\;M+\sqrt{M^2+{2\;M\;k\;h\over g}}$$

si enchufamos$k\;=\;98100$N/m (es decir, la escala baja$1$cm para el peso de una masa de$100$kg) obtenemos una lectura de$R=321$kg. Mi báscula de baño mecánica anterior no tenía esa lectura (y estoy seguro de que tenía un resorte más rígido, lo que llevó a una lectura aún mayor$R$); esto confirma que el método no se puede usar en la práctica , a menos que el resorte sea inusualmente suave: si lo hacemos$k\;=\;9810$N/m, obtenemos$R=105$kg.

Con estos últimos parámetros de resorte blando, la aproximación realizada en la otra respuesta da$k$en exceso por$+10\%$(es difícil saber si eso importa en comparación con otras fuentes de error). Resorte más rígido, más alto$h$, o bajo$M$, acerque esa aproximación al valor teórico que obtenemos en la presente respuesta.

Actualización : otra razón por la que el método no se puede usar en la práctica es que, a excepción de resortes inusualmente suaves, no tendremos suficiente tiempo para leer$R$, ya que el resorte permanecerá comprimido por muy poco tiempo (solo una pequeña fracción del tiempo de caída, y esa fracción se reduce con los resortes más rígidos). Además, la hipótesis formulada implica que el resorte empujará la masa hacia arriba en un rebote y la devolverá a la altura.$h$; pero en realidad el rebote de la masa será mucho menor, con gran parte de la energía correspondiente absorbida por el mecanismo de escala y la superficie, y la masa misma, cuando hemos postulado que no hay tal pérdida.