¿Qué enfoque tomar con un resorte vertical?

Digamos que tenemos un resorte colgando verticalmente con constante de resorte k unido a un bloque de masa metro . El sistema está en reposo.

Luego, tiras de la masa hacia abajo, extendiendo el resorte por la distancia X , luego déjalo ir. El resorte, por supuesto, volverá a su lugar original. ¿Cuál es la velocidad del objeto en su ubicación de reposo inicial?

Para resolver esto, tomé dos enfoques, pero no estoy seguro de cuál es el correcto. El primero es un enfoque de trabajo. Cuando el bloque regresa a su ubicación anterior, es el mismo excepto que ahora tiene la nueva energía que recibió de la extensión anterior, así que puedo decir...

W = F d o W = 1 2 ∗ k ∗ X 2 .

Entonces, 1 2 ∗ k ∗ X 2 = 1 2 ∗ metro ∗ v 2 por lo tanto v = k metro ∗ a b s ( X ) .

Sin embargo, no considero el potencial gravitatorio, lo que me preocupa.

Si lo hacemos, podemos decir que en el lugar de descanso la energía es solo metro gramo h dónde h es X .

En el fondo, la energía es sólo 1 2 ∗ k ∗ X 2 entonces...

metro gramo X + 1 2 metro ∗ v 2 = 1 2 k ∗ X 2 entonces v = k X 2 − 2 gramo metro X metro

¿Qué enfoque tomo?

No estás manteniendo tus puntos de referencia consistentes. si estas tomando X = 0 como la altura en reposo, entonces la energía potencial en reposo es metro gramo 0 = 0 , y la energía potencial con el resorte tirado hacia abajo es la suma de la energía en el resorte y la energía cedida por la masa: W = 1 2 k X 2 − metro gramo | X | .
@TimWescott ¿Significaría eso que el segundo enfoque es correcto? solo puedo mover el metro gramo X al otro lado y resolver para v, dando la misma expresión?
Pruébalo, mira cómo funciona.
Debo mencionar que su segundo enfoque tiene todas las características que para mí implicarían múltiples intentos, descubriendo que dejé 'i' sin puntos, 't's sin cruzar, o he contado mal los cambios de signo y tengo '+' donde debería '-' ser y viceversa. Así que dale una vuelta, con cuidado .
@TimWescott Dices eso como si no hubiera una forma de verificar la solución real.

Respuestas (1)

Ambos enfoques son en realidad lo mismo, si los haces correctamente.

Abordaré su segundo caso primero. Tienes razón al usar la conservación de la energía y decir que la energía potencial almacenada en el resorte en el punto más bajo es igual a la suma de la energía cinética y la energía potencial debida a la gravedad en el punto de equilibrio. entonces acertaste con la ecuacion

1 2 k y 2 = metro gramo y + 1 2 metro v 2

Veamos ahora el primer caso, pero hagámoslo correctamente. Sabemos que el trabajo neto realizado sobre la masa es igual a su cambio en energía cinética:

W neto = W gravedad + W primavera = Δ k = 1 2 metro v 2 − 0

Podemos determinar fácilmente el trabajo realizado por la gravedad y la fuerza del resorte usando la definición de trabajo W = ∫ F ⋅ d y

W gravedad = ∫ − y 0 ( − metro gramo ) d y ′ = − metro gramo y
W primavera = ∫ − y 0 ( − k y ′ ) d y ′ = 1 2 k y 2
Juntando todo tenemos
W neto = − metro gramo y + 1 2 k y 2 = 1 2 metro v 2

Puede ver que esto es exactamente lo mismo que su segundo caso. Entonces, ambos métodos que ha propuesto son exactamente iguales. El problema con el primer caso en su pregunta es tal como usted dijo. No incluyeste el trabajo realizado por la gravedad.

¿Qué enfoque tomar con un resorte vertical?
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