Definición poco clara sobre la no conservación de la energía

Todos sabemos que la conservación de la energía se escribe como

$$\Delta U + \Delta K = 0$$

Pero cuando se trata de sistemas en los que la energía no se conserva (ejemplo trivial: el rozamiento), estamos en presencia de un trabajo realizado por esta fuerza no conservativa, lo que nos lleva a escribir

$$\mathcal{L}_{nc} = \Delta E$$

Consideremos un problema en el que$K_f = U_i = 0$, ahora tenemos simplemente

$$\mathcal{L}_{nc} = U_f - K_i$$

Donde "nc" significa "no conservador".

Ahora tenía que lidiar con un problema de este tipo, en el que tengo una masa$M$empujado por un resorte que se mueve un poco recto (sin fricción aquí), y luego hay un plano inclinado con fricción$\mu$.

La pregunta es qué distancia recorre el cuerpo sobre el plano inclinado.

Teniendo en cuenta que el cuerpo tiene una velocidad inicial debido a la liberación del resorte,$v_i$, y la velocidad final debe ser cero, y las energías potenciales son$0$para el inicial y$mgh = mg\ell\sin\theta$para el último (donde$\theta$es el ángulo de inclinación,$\ell$es la distancia recorrida), escribimos (según la definición anterior)

$$\mathcal{L}_{nc} = \Delta E = U_f - K_i = mg\ell\sin\theta - \frac{1}{2}mv_i^2$$

Ahora

$$\mathcal{L}_{nc} = F\cdot \ell = mg\ell \mu\cos\theta$$

Y debido a esto,$\ell$se puede calcular

Ahora, el profesor, en cambio, escribió en el papel que el resultado correcto es

$$\mathcal{L}_{nc} + mg\ell\sin\theta = \frac{1}{2}mv_i^2$$

No entiendo por qué están desordenados los letreros, y básicamente es como si él dice eso.

$$\mathcal{L}_{nc} = -\Delta E$$

¿Alguien puede explicarme toda la situación?

¡Muchas gracias!

Se pueden agregar detalles, si necesita alguno