Si la cuerda se estira solo por el peso, ¿a dónde va la energía potencial gravitacional si solo la mitad se convierte en energía potencial elástica?

Si coloca el peso y lo deja caer, caerá y ganará energía cinética, sobrepasará el punto de equilibrio, disminuirá la velocidad, cambiará de dirección y luego realizará un ciclo una y otra vez. Para que alguna vez alcance el equilibrio, la energía debe disiparse en forma de calor a través de la resistencia del aire, la fricción en el resorte, etc.

Este es un asunto sutil. El bloque necesita moverse cuasi-estáticamente para mantener su energía cinética cero, y por esa razón necesitaríamos una fuerza externa F. Esta fuerza también realizará un trabajo negativo sobre el bloque, reduciendo su cambio en GPE a la mitad, que se almacena en la primavera. Si el proceso no fuera cuasiestático, el bloque tendría una velocidad después de viajar cierta distancia, y su pregunta está respondida, ya que también necesita tomar la energía cinética. Tenga en cuenta que F no es una fuerza constante, porque tiene que contrarrestar el efecto de la gravedad y la fuerza cambiante del resorte.

mira la fuerza$F$vs extensión$x$gráfica de un resorte.
Es un gráfico de línea recta a través del origen del gradiente.$k$la constante del resorte y$F=kx$.
El trabajo realizado por la fuerza externa$F$para extender el resorte de estar sin extender,$x=0$hasta que tenga una extensión$x_o$es$\displaystyle \int_0^{x_o} F dx = \int_0^{x_o} kx \;dx = \frac 1 2 k x^2$
Dicho de otra manera.
La fuerza promedio durante la extensión es$\dfrac {kx_o} {2}$por lo que el trabajo realizado por la fuerza externa es$\dfrac {kx_o} {2} \; x_o = \dfrac {kx_o^2} {2}$

Ahora cuando agregas una masa$m$al final del resorte esa masa tiene un peso constante$mg$y así potencialmente puede ejercer una fuerza constante sobre el resorte.
Puede replicar el análisis realizado anteriormente con una fuerza en el resorte que cambia con la extensión del resorte aplicando una fuerza hacia arriba$F_{up}$sobre la masa tal que la fuerza neta ejercida sobre el resorte$F = mg - F_{up}$y luego obtendrás que la energía almacenada en el resorte es$\dfrac 1 2 k x^2$como el trabajo realizado sobre el resorte es$\displaystyle \int_0^{x_o} (mg - F_{up}) \; dx = mg\;x_o + \left[ - \int_0^{x_o} F_{up} \; dx \right ]$

Siendo el primer término el trabajo realizado por la fuerza gravitacional y el segundo término el trabajo realizado sobre la fuerza.$F_{up}$

si la fuerza$F_{up}$no está presente entonces el$mg$de nuevo funciona$mgx_o$pero ahora la masa$m$está acelerando desde$mg > kx$y sigue acelerando hasta$mg=kx_o$cuando la fuerza neta sobre la masa es cero.
Sin embargo, aunque esta es la condición de equilibrio estático en términos de fuerzas, la masa se mueve habiendo ganado energía cinética.$\dfrac 1 2 k x_o^2$durante su descenso continuará hacia adelante hasta que finalmente se detenga cuando la extensión$x = 2 x_o$.
En términos de energía, el resorte tiene almacenada una energía potencial de$\dfrac 1 2 k (2x_o)^2 = 2 kx_o^2$en él y el trabajo realizado por la fuerza gravitacional es$mg\;2x_o = 2 kx_o^2$.

Así que no se ha perdido energía.

Si el sistema de masa del resorte se dejara solo y no actuaran fuerzas disipativas, entonces la masa oscilaría alrededor de la posición de equilibrio estático.$x=x_o$para siempre.

En la práctica, con las fuerzas de fricción presentes, la masa experimentaría un movimiento armónico amortiguado y finalmente terminaría estacionaria en la posición de equilibrio estático con energía.$\dfrac 12 k x_o^2$disipado como calor.