Degeneración topológica del estado fundamental de SU(N), SO(N), Sp(N) Teoría de Chern-Simons

Después de indicar la solución, intentaré dar algunas ideas físicas según mi mejor conocimiento y algunas referencias más.

La dimensión del espacio de estado requerido viene dada por la fórmula de Verlinde, que tiene la siguiente forma para un grupo de Lie semisimple compacto general$G$en una superficie de Riemann con género$g$correspondiente al nivel$k$:

$$\mathrm{dim} V_{g,k} =(C (k+h)^r)^{g-1} \sum_{\lambda \in \Lambda_k}\prod_{\alpha \in \Delta}(1-e^{i\frac{\alpha .(\lambda+\rho)}{k+h}})^{(1-g)}$$

(Consulte la ecuación 1.2 de Blau y Thompson ). Aquí,$C$es el orden del centro,$h$es doble invariante de Coxeter,$\rho$es la mitad de la suma de las raíces positivas, y$r$es el rango de$G$.$g$es el género,$\Delta$es el conjunto de raíces y$\Lambda_k$es el conjunto de los pesos más altos integrables del álgebra de Kac-Moody$G_k$.

Para el toro ($g=1$), esta fórmula se simplifica a:

$$\mathrm{dim} V_{\mathrm{Torus},k} = \# \Lambda_k$$

es decir, la dimensión es igual al número de pesos integrables más altos del álgebra de Kac-Moody$G_k$.

Los pesos más altos integrables de un nivel-$k$El álgebra de Kac-Moody viene dado por las siguientes restricciones:

$$\lambda - \mathrm{dominant}, 0 \leq \sum_{i=1}^r \frac{2 \lambda. \alpha^{(i)}}{ \alpha^{(i)}. \alpha^{(i)}}\leq k$$

Dónde$\alpha^{(i)}$son las raíces simples, consulte, por ejemplo, la siguiente revisión de Fuchs sobre las álgebras de Kac-Moody.

(Mi referencia favorita para la teoría de la representación de las álgebras de Kac-Moody es la revisión de Goddard y Olive que parece no estar disponible en línea)

por ejemplo para$SU(3)_k$cuyos pesos dominantes son$2$-tuplas de números no negativos$(n_1, n_2)$, la condición anterior se reduce a:

$$\mathrm{dim} V^{SU(3)}_{\mathrm{Torus},k} = \# (n_1\geq 0, n_2\geq 0, 0\leq n_1 + n_2 \leq k )= \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$

Para realizar los cálculos para los casos más generales, se puede utilizar la revisión seminal de Slansky.

La fórmula de Verlinde fue descubierta antes de que la teoría de Chern-Simons llegara al mundo. Originalmente es la dimensión del espacio de bloques conformes para el modelo WZW. Esta fórmula se ha derivado de una gran variedad de formas; consulte la nota al pie 26 en la revisión de Fuchs. Todavía es un tema de investigación activo, vea, por ejemplo, una nueva derivación en este artículo reciente de Gukov.

La teoría de Chern-Simons puede ser el ejemplo más sofisticado en el que los postulados de cuantización de Dirac pueden llevarse a cabo en espíritu. (Más precisamente su generalización en cuantización geométrica). Me refiero a partir de un espacio de fase y utilizar un conjunto específico de reglas para asociarle un espacio de Hilbert. En el caso de la teoría de Chern-Simons, el espacio de fase es el conjunto de soluciones de las ecuaciones clásicas de movimiento. Las ecuaciones clásicas de movimiento requieren que la intensidad del campo desaparezca, en otras palabras, que la conexión sea plana.

Este espacio de fase (el espacio de módulos de las conexiones planas) es de dimensión finita, tiene una estructura de Kähler y puede cuantizarse geométricamente como una variedad de Kähler, al igual que el caso del oscilador armónico. Así, el problema puede reducirse en principio a un problema de mecánica cuántica.

El caso del toro es el más fácil porque todo se puede llevar a cabo explícitamente en el caso abeliano y no abeliano, consulte la siguiente construcción explícita de Bos y Nair (un tratamiento más conciso aparece en la revisión de Dunne ).

En el caso del toro, el espacio de módulos de conexiones planas en el caso abeliano también es un toro y en el caso no abeliano es:

$$\mathcal{M} = \frac{T \times T}{W}$$

dónde$T$es el toro máximo de$G$. Básicamente, se puede llevar a cabo una cuantificación de Fock, pero existe una restricción adicional en las funciones de onda admisibles que provienen del requisito de invariancia bajo las transformaciones de gran calibre (consulte, por ejemplo, la revisión de Dunne). Las funciones de onda invariantes se denominan funciones theta no abelianas y están en una correspondencia uno a uno con los pesos más altos integrables del álgebra Kac-Moody. (En el caso abeliano, las funciones de onda son las funciones theta de Jacobi).

En el caso del género superior, aunque el programa de cuantización que conduce a la fórmula de Verlinde se puede llevar a cabo en principio, se conocen pocos resultados explícitos, consulte el siguiente artículo de Lisa Jeffrey (y también las siguientes notas de clase ). La dimensión de estos espacios de módulos es conocida. Además. Witten en un ingenioso trabajo calculó sus volúmenes simplécticos y su anillo de cohomología en algunos casos.

La idea de Witten es que, como en el caso de un giro simple, la dimensión del espacio de Hilbert en el límite semiclásico ($k \rightarrow \infty$) se vuelve proporcional al volumen y el exponente principal de$k$es la dimensión compleja del espacio de los módulos (obsérvese, por ejemplo, que en el caso de$SU(3)$en el toro, el exponente principal es$2$cual es el rango de$SU(3)$cuál es la dimensión del toro máximo$T$).

De https://www.math.ksu.edu/~gerald/voas/mtc/kmB2_1.html , encontramos que el$SO(5)_1$La teoría de Chern-Simons tiene una degeneración triple en el toro.

De https://www.math.ksu.edu/~gerald/voas/mtc/kmC3_1.html , encontramos que el$Sp(6)_1$La teoría de Chern-Simons tiene una degeneración cuádruple en el toro.

Puede encontrar resultados para muchas otras teorías de Chern-Simons.