Pregunta de seguimiento sobre "Wilson Loops as Raising Operators"

Question

Pregunta de seguimiento sobre "Wilson Loops as Raising Operators"

Física
orden topológico
chern-simons-theory
teoría topológica del campo

SR. Lee

Esta es una pregunta de seguimiento sobre el tema que abrí hace unos días, Wilson Loops como operadores de elevación .

El papel

Degeneración topológica de los fluidos cuánticos de Hall. XG Wen, A. Zee. física Rev.B 58 no. 23 (1998), págs. 15717-15728 . arXiv:cond-mat/9711223 .

da una buena derivación de los estados fundamentales explícitos de la $U(1)$ Teoría de Chern-Simons sobre un toro en la Sección 2 sobre Estados Abelianos Quantum Hall.

En particular la Ec. (12) da la forma genérica de un estado fundamental $\psi(y) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \ e^{i\ 2\pi ny}$ . Debido al hecho de que la teoría vive en un toro, se encuentra que la variedad de estado fundamental es $k$ -pliegue degenerado.

Mi pregunta: ¿Es posible (por cálculo directo) obtener las relaciones

\begin{aligned} W (b) | norte ⟩ & = | norte + 1 modificación | k | ⟩, \\ W (a) | norte ⟩ & = {mi}^{2 π i norte / k} | norte ⟩ . \end{aligned}

$\begin{align} W(b)|n \rangle &= |n + 1 \text{ mod } |k| \rangle, \nonumber \\ W(a) |n \rangle &= e^{2\pi i n /k} |n \rangle. \end{align}$ de la pregunta anterior?

No tengo una formación particularmente sólida en la teoría de campos, por lo que me siento algo incómodo cuando se trata de la evaluación explícita del Wilson Loop (con su campo de calibre exponenciado y el orden de la ruta) que actúa en el estado construido.

Espero sus respuestas.

Respuestas (1)

Pregunta de seguimiento sobre "Wilson Loops as Raising Operators"

Trimok · Answer 1

la correspondencia es: $W(a)= e^{2i \pi y}, \quad W(b) = e^{-2i \pi x}$ .

De $[x,y] = \frac{i}{2\pi k}$ $(9)$ , obtenemos : $W(a)W(b) = e^{ \large \frac{2i\pi}{k}} W(b) W(a)$ (ver respuesta precedente ).

Como se explica en el texto entre fórmulas $(19)$ y $(20)$ , $x$ y $y$ solo puede tomar valores discretos $\frac{1}{k},\frac{2}{k},....., \frac{k-1}{k},1$ .

Una consecuencia directa de ello es: $W^k(a) = W^k(b) = \mathbb{Id}$ , como se desea, debido a las identificaciones $x= x+1$ y $y = y+1$ .

[EDITAR]

Los bucles de Wilson

Aquí hay un argumento no riguroso, pero este es mi sentimiento. Si miramos la ecuación $(4)$ de su papel, vemos que:

\begin{matrix} (4) & a_{0} (X_{1}, X_{2}, t) = 0, a_{1} (X_{1}, X_{2}, t) = 2 π \frac{X (t)}{L_{1}}, a_{2} (X_{1}, X_{2}, t) = 2 π \frac{y (t)}{L_{2}} \end{matrix}

$a_0(x_1,x_2,t)=0, \quad a_1(x_1,x_2,t)= 2 \pi \frac{x(t)}{L_1}, \quad a_2(x_1,x_2,t)= 2 \pi \frac{y(t)}{L_2}\tag{4}$

Ahora, elige el camino. $(a)$ : $x_2$ aumentando, $0 \le x_2 \le L_2$ , y $x_1,t$ constante (entonces $dx_1=0$ ) tendríamos :

\begin{matrix} (5) & \oint_{a} (a_{i} d X^{i}) = \oint_{a} (a_{2} d X^{2}) = \int_{0}^{L_{2}} 2 π \frac{y (t)}{L_{2}} = 2 π y (t) \end{matrix}

$\oint_a (a_i dx^i) = \oint_a (a_2 dx^2) = \int_0^{L_2} 2 \pi \frac{y(t)}{L_2} = 2 \pi y(t) \tag{5}$

Entonces, tendríamos:

\begin{matrix} (6) & W (a) = {mi}^{i \oint_{a} (a_{i} d X^{i})} = {mi}^{2 i π y} \end{matrix}

$W(a) = e^{ \large i\oint_a (a_i dx^i)} = e^{2 i\pi y} \tag{6}$

Con el mismo espíritu elige el camino $(b)$ : $x_1$ decreciente, $0 \le x_1 \le L_1$ , y $x_2,t$ constante (entonces $dx_2=0$ ) tendríamos :

\begin{matrix} (7) & \oint_{b} (a_{i} d X^{i}) = \oint_{a} (a_{1} d X^{1}) = \int_{L_{1}}^{0} 2 π \frac{X (t)}{L_{1}} = - 2 π X (t) \end{matrix}

$\oint_b (a_i dx^i) = \oint_a (a_1 dx^1) = \int_{L_1}^0 2 \pi \frac{x(t)}{L_1} = -2 \pi x(t) \tag{7}$

Entonces, tendríamos:

\begin{matrix} (8) & W (b) = {mi}^{i \oint_{b} (a_{i} d X^{i})} = {mi}^{- 2 i π X} \end{matrix}

$W(b) = e^{\large i\oint_b (a_i dx^i)} = e^{-2 i\pi x} \tag{8}$

La base

porque el impulso $p$ es $p=2\pi kx = -i\frac{\partial}{\partial y}$ , podemos reescribir $W(b)$ como $W(b) = e^{\large -\frac{1}{k}\frac{\partial}{\partial y}}$ .

Entonces tenemos : $W(b) \psi(y) = \psi(y-\frac{1}{k})$

Es natural, entonces, postular la siguiente base:

\begin{matrix} (9) & ψ_{norte} (y) = ⟨ norte | y ⟩ = d (k y - norte) \end{matrix}

$\psi_n(y) = \langle n|y\rangle = \delta (ky - n) \tag{9}$

Vemos eso :

\begin{matrix} (10) & W (a) ψ_{norte} (y) = {mi}^{2 i π y} d (k y - norte) = {mi}^{2 i π \frac{norte}{k}} d (k y - norte) = {mi}^{2 i π \frac{norte}{k}} ψ_{norte} (y) \end{matrix}

$W(a) \psi_n(y) = e^{2i \pi y} \delta (ky - n)= e^{2i \pi \large \frac{n}{k}}\delta (ky - n) = e^{2i \pi \large \frac{n}{k}} \psi_n(y) \tag{10}$

\begin{matrix} (11) & W (b) ψ_{norte} (y) = ψ_{norte} (y - \frac{1}{k}) = d (k (y - \frac{1}{k}) - norte) = d (k y - (norte + 1)) = ψ_{norte + 1} (y) \end{matrix}

$W(b) \psi_n(y) = \psi_n(y - \frac{1}{k}) = \delta(k (y -\frac{1}{k}) - n) = \delta (ky - (n+1)) = \psi_{n+1}(y)\tag{11}$

Puedo seguir tu argumento excepto por la primera línea. ¿Se obtienen W(a) y W(b) a partir del cálculo del primer principio de la definición original del bucle de Wilson? tampoco lo es $\left|n\right\rangle = e^{i2\pi n y}$ (solo un componente de Fourier de \ psi)? ¿Reproduce esto entonces correctamente la acción de W(a) y W(b) sobre $\left|n\right\rangle$ ?
@MrLee: edité la respuesta para agregar precisiones para los bucles de Wilson y una base $|n\rangle$
Muchas gracias Trimok. Tu respuesta es muy detallada y agradable. Permítame una pregunta más: en su derivación del bucle de Wilson (que, como ha dicho), omite el "ordenamiento de ruta" que actúa sobre el exponencial. ¿Por qué puede ignorar el orden de la ruta en este caso particular?
La ordenación de rutas se refiere a un orden particular, en relación con un parámetro, que suele ser el tiempo $t$ . Los caminos han sido definidos en $t=$ constante, entonces, parece que no hay problema.

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