Cuantificación eléctrica, magnética y de nivel para una teoría de Chern-Simons SU(N), SO(N) y U(1) compacta

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Cuantificación eléctrica, magnética y de nivel para una teoría de Chern-Simons SU(N), SO(N) y U(1) compacta

Física
instantes
teoria de las cuerdas
monopolos-magnéticos
chern-simons-theory
teoría topológica del campo

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Imagina tres mundos diferentes descritos por tres teorías (I), (II), (III).

Teoría (I) - compacta U(1) Chern-Simons :

Una teoría compacta U(1) de Chern-Simons con cargas monopolares magnéticas $m_1$ .

Z = Exp [i \int (\frac{k_{1}}{4 π} a_{1} \land d a_{1})]

$Z=\exp[i\int\big( \frac{k_{1}}{4\pi} a_1 \wedge d a_1 \big)]$

Teoría (II) - SU(2) a U(1) Chern-Simons :

Una teoría SU(2) (o SU(N) en general) de Chern-Simons con cargas monopolares magnéticas $m_2$ .

Z = Exp [i \int \frac{k_{2}}{4 π} (a_{2} \land d a_{2} + \frac{2}{3} a_{2} \land a_{2} \land a_{2})]

$Z=\exp[i\int \frac{k_{2}}{4\pi} \big( a_2 \wedge d a_2 +\frac{2}{3}a_2 \wedge a_2 \wedge a_2 \big)]$

y esta teoría SU(2) desglosada en simetría U(1) por el mecanismo de Higgs.

Teoría (III) - SO(3) a U(1) Chern-Simons :

Una teoría SO(3) (o SO(N) en general) de Chern-Simons con cargas monopolares magnéticas $m_3$ .

Z = Exp [i \int \frac{k_{3}}{4 π} (a_{3} \land d a_{3} + \frac{2}{3} a_{3} \land a_{3} \land a_{3})]

$Z=\exp[i\int\frac{k_{3}}{4\pi} \big( a_3 \wedge d a_3 +\frac{2}{3}a_3 \wedge a_3 \wedge a_3 \big)]$

y esta teoría SO(3) desglosada en simetría U(1) por el mecanismo de Higgs.

Ahora imagina que la Teoría (I), la Teoría (II) y la Teoría (III) realmente viven en el mismo universo pero muy separadas entre sí; juntemos la Teoría (I), la Teoría (II) y la Teoría (III) y hablen entre sí.

Pregunta : ¿podemos comparar sus cuantizaciones en carga eléctrica? $e_1$ , $e_2$ , $e_3$ , carga de monopolo magnético $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ y sus niveles $k_1$ , $k_2$ y $k_3$ ? ¿Cuáles son sus relaciones explícitas?

PD. el hecho útil es que: el monopolo singular de Dirac tiene carga magnética $m=2\pi N/e$ (para una teoría U(1) compacta), y el monopolo de 't Hooft Polyakov tiene carga magnética $m=4\pi N/e$ (para una teoría SU(N)).

Dar Ref está bien. Pero los resultados explícitos deben establecerse y resumirse. Gracias.

usuario23660

¿Por 'vivir en el mismo universo' quiere decir que hay una teoría 'gran unificada' subyacente que se rompe de tres maneras diferentes? Si es así, entonces las áreas del universo con diferentes teorías estarían separadas por paredes de dominio, por lo que realmente no podríamos 'unirlas'. ¿O te refieres a otra cosa?

maravilloso

@user23660: Gracias por los buenos comentarios. En realidad, no estoy seguro de si las tres teorías realmente pueden juntarse para compararlas entre sí. (Si no, aún puede responder las preguntas que no se pueden comparar). Lo que me pregunto es si existe una escala universal de cuantificación más pequeña para e, m, k (cuantificación eléctrica, magnética y de nivel), por lo que las tres teorías pueden poner en esta balanza para comparar? PD. Leí un artículo en el que mencionaron cómo se emparejan los niveles para una teoría compacta U(1) CS y SU(2)->U(1) CS. ¡Gracias!

maravilloso

@user23660: si hay un término adicional de Maxwell |F|^2 para cada teoría (por ejemplo, tres teorías comparten el mismo campo de calibre U(1) ininterrumpido a), ¿podríamos detectar la fuerza entre las cargas e,m y usar esto? fuerza EM para decir sus valores cuantificados relativamente entre Teoría (I), Teoría (II) y Teoría (III)? incluso si están separados por un muro de dominio (si lo hay)?

Respuestas (1)

Cuantificación eléctrica, magnética y de nivel para una teoría de Chern-Simons SU(N), SO(N) y U(1) compacta

¿Por 'vivir en el mismo universo' quiere decir que hay una teoría 'gran unificada' subyacente que se rompe de tres maneras diferentes? Si es así, entonces las áreas del universo con diferentes teorías estarían separadas por paredes de dominio, por lo que realmente no podríamos 'unirlas'. ¿O te refieres a otra cosa?
@user23660: Gracias por los buenos comentarios. En realidad, no estoy seguro de si las tres teorías realmente pueden juntarse para compararlas entre sí. (Si no, aún puede responder las preguntas que no se pueden comparar). Lo que me pregunto es si existe una escala universal de cuantificación más pequeña para e, m, k (cuantificación eléctrica, magnética y de nivel), por lo que las tres teorías pueden poner en esta balanza para comparar? PD. Leí un artículo en el que mencionaron cómo se emparejan los niveles para una teoría compacta U(1) CS y SU(2)->U(1) CS. ¡Gracias!
@user23660: si hay un término adicional de Maxwell |F|^2 para cada teoría (por ejemplo, tres teorías comparten el mismo campo de calibre U(1) ininterrumpido a), ¿podríamos detectar la fuerza entre las cargas e,m y usar esto? fuerza EM para decir sus valores cuantificados relativamente entre Teoría (I), Teoría (II) y Teoría (III)? incluso si están separados por un muro de dominio (si lo hay)?

matthew tetworth · Answer 1

Aparentemente, esto es demasiado largo para un comentario, por lo que se desarrollará al menos (con suerte) en una respuesta parcial.

Un gran problema que veo con esto es determinar qué teorías pueden vivir en el mismo universo. De esta manera, creo que la teoría matemática de la condensación de Anyon de Liang Kong proporciona un camino a seguir.

Para reconstruir su configuración:

Considere tres fases topológicas cuyas excitaciones están descritas por las categorías de tensores modulares $\mathcal C_1$ , $\mathcal C_2$ , $\mathcal C_3$ asociado con las teorías de Chern-Simons anteriores. Ahora considere que estos TP son todas fases condensadas en un sistema más grande con una separación adecuada. Esta parece ser su primera (o quizás cero) pregunta: si existe o no dicho sistema.

Desde una perspectiva categórica, creo que esto se puede reformular como si existe o no un MTC, llamémoslo $\mathcal D$ - que contiene álgebras de Frobenius especiales apropiadas (separables conmutativas conectadas de manera equivalente) $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ cuyas categorías de módulos locales $mod_{l} A_1$ , $mod_{l} A_2$ , y $mod_{l} A_3$ son equivalentes a $\mathcal C_1$ , $\mathcal C_2$ , y $\mathcal C_3$ como MTC.

Una forma en la que puedo pensar para construir tal categoría probablemente sería tomar el producto tensorial de Deligne de categorías $\mathcal D =(\mathcal C_1\boxtimes \mathcal C_2) \boxtimes \mathcal C_3$ . yo creo entonces que $\mathcal C_1$ , $\mathcal C_2$ y $\mathcal C_3$ debe tener la estructura de categorías de bimódulo sobre esto, a través de los funtores de proyección apropiados de $\mathcal D\rightarrow C_i$ - y así esto debería garantizar la existencia de las álgebras apropiadas.

De todos modos, del análisis de Kong, esto debería dar una fase topológica, es decir, un universo, que es capaz de soportar fases condensadas descritas por los tres tipos diferentes de TQFT de Chern-Simons que describió anteriormente.

Al "reunirlos", supongo que quiere decir que las tres fases comparten un muro de dominio. Aquí es donde surgirán restricciones en el nivel de la teoría (esto es probablemente obvio) y requerirá un análisis de sus categorías de módulos. Al hablar entre sí, supongo que quiere decir que las excitaciones en una fase pueden pasar de un lado a otro entre los demás. Creo que esto también se puede analizar utilizando el método de Kong , pero antes de continuar, quiero asegurarme de que no me voy demasiado lejos, ya que el análisis anterior no se limita estrictamente al contexto de las teorías de Chern-Simons.

Estimado Mateo, gracias por la agradable respuesta. +1. Es bueno tener una interpretación de categoría. (Lo que tenía en mente antes era un enfoque de teoría de campo TQFT). ¿Cree que todavía puede decir la cuantización de carga e/m y el nivel k para esas teorías que usan categoría? ¿Cómo? ¡Muchas gracias!
Creo que la respuesta para determinar $k$ de la teoría debería ser "Sí". El MTC para una teoría CS con grupo $G$ en el nivel k parece ser un cociente de la subcategoría de representaciones del álgebra de Lie de $G$ con algún peso más alto. Determinación de las tres teorías y sus niveles $(G_1,k_1)$ , $(G_2,k_2)$ , y $(G_3,k_3)$ Se trata entonces de determinar qué teorías pueden compartir un muro de dominio. Desde Kong, esto debería ser reducible a una declaración sobre las categorías de módulos de los MTC correspondientes a las teorías. Voy a editar la respuesta para dar una mejor descripción de esto.
Sin embargo, supongamos por el momento que tenemos tres teorías CS $(G_1,k_1)$ , $(G_2, k_2)$ , y $(G_3,k_3)$ que pueden compartir un límite. ¿No debería ser derivable la cuantización de la carga e/m dada la teoría y su nivel?
Gracias Matthew, en realidad no estoy seguro de cómo. ¿Me darías los resultados si los supieras? (Tuve algunos pensamientos de CS pero no estoy seguro de que la respuesta sea correcta. Puedo publicarlo para que otras personas juzguen mi pensamiento si todavía no hay respuesta).

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