¿Modos cero ~ modos de valor propio cero ~ modos de energía cero?

Ha habido varias preguntas de Phys.SE sobre el tema de los modos cero . Como, por ejemplo,

• modos cero ( ¿Qué son los modos cero?, ¿ Pueden los fermiones masivos tener modos cero? ),

• majorana-zero-modes ( modo Majorana cero en la teoría cuántica de campos ),

• path-integral-with-zero-energy-mods ( Integral de ruta con modos de energía cero ), etc.

Aquí me gustaría comprender mejor si los "Modos Cero" pueden tener interpretaciones físicamente diferentes y cuáles son sus consecuencias , o cómo estos problemas son realmente iguales, relacionados o diferentes. Hay al menos 3 problemas relevantes que se me ocurren:

(1) Modos de valor propio cero

Por definición, Modos Cero significa modos de valor propio cero, que son modos$\Psi_j$con valor propio cero para algún operador$O$. Decir,

$$O \Psi_j = \lambda_j \Psi_j,$$ Con algo $\lambda_a=0$para algunos $a$.

Este puede ser el operador de Dirac de algunos campos de fermiones, como

$$(i\gamma^\mu D^\mu(A,\phi)-m)\Psi_j = \lambda_j \Psi_j$$ aquí puede haber un perfil de calibre no trivial $A$y perfil de solitón $\phi$en el espaciotiempo. Si existe el modo cero, entonces con $\lambda_a=0$para algunos $a$. En este caso, sin embargo, según tengo entendido, la energía de los modos cero puede no ser cero. Este modo cero contribuye de manera no trivial a la integral de trayectoria como $$\int [D\Psi][D\bar{\Psi}] e^{iS[\Psi]}=\int [D\Psi][D\bar{\Psi}] e^{i\bar{\Psi}(i\gamma^\mu D^\mu(A,\phi)-m)\Psi } =\det(i\gamma^\mu D^\mu(A,\phi)-m)=\prod_j \lambda_j$$ En este caso, si existe $\lambda_a=0$, entonces debemos tener mucho cuidado con la posible correlación de largo alcance de $\Psi_a$, visto desde la función de partición integral de ruta ( ¿algún comentario en este punto? ).

(2) Modos de energía cero

Si dijo el operador$O$es precisamente el hamiltoniano$H$, es decir, el$\lambda_j$se convierten en valores propios de energía, entonces los modos cero se convierten en modos de energía cero:

$$H \Psi_j= \lambda_j \Psi_j$$ si existe alguna $\lambda_a=0$.

(3) Modos cero$\phi_0$y modos conjugados de devanado de momento$P_{\phi}$

En la teoría del bosón quiral o teoría de cuerdas heteróticas , el campo bosónico$\Phi(x)$

$$\Phi(x) ={\phi_{0}}+ P_{\phi} \frac{2\pi}{L}x+i \sum_{n\neq 0} \frac{1}{n} \alpha_{n} e^{-in x \frac{2\pi}{L}}$$ contiene el modo cero $\phi_0$.

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Por lo tanto: ¿Son los problemas (1), (2) y (3) problemas físicos iguales, relacionados o diferentes? Si son iguales, ¿por qué son iguales? Si son diferentes, ¿en qué se diferencian?

También me gusta saber cuándo las personas consideran varios contextos, con qué problemas están realmente lidiando: como el modelo de Jackiw-Rebbi , el modelo de Jackiw-Rossi y el número cuántico inducido por computación actual de Goldstone-Wilczek bajo perfil de solitón, modos de energía cero de Majorana , como el modelo Fu-Kane ( arXiv:0707.1692 ), los vórtices semicuánticos de Ivanov en superconductores de onda p ( arXiv:cond-mat/0005069 ), o el problema con los modos cero de fermión bajo el instante QCD como se discute en el libro de Sidney Coleman ` `Aspectos de la simetría''.

PD. Dado que esta pregunta puede ser un poco demasiado amplia, es totalmente bienvenido que cualquiera intente responder primero a la pregunta en parte y luego agregue más pensamientos.