Teoría gravitacional de Chern-Simons para bosones y fermiones

Question

Teoría gravitacional de Chern-Simons para bosones y fermiones

Física
teoria de las cuerdas
gravedad cuántica
chern-simons-theory
teoría cuántica de campos
teoría topológica del campo

Anónimo

P1: ¿Cuál es la diferencia del bosón y los fermiones para su teoría gravitacional de Chern-Simons ?

Supongo que, en general, si la métrica no es plana, tenemos vierbein ${e_{\hat{b}}}^{\nu}$ , con

{gramo}_{m v} {mi}_{\hat{a}}^{m} {mi}_{\hat{b}}^{v} = η_{\hat{a} \hat{b}},

$g_{\mu\nu} {e_{\hat{a}}}^{\mu} {e_{\hat{b}}}^{\nu} = \eta_{\hat{a}\hat{b}},$ dónde

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ es curvo y

η_{\hat{a} \hat{b}}

$\eta_{\hat{a}\hat{b}}$ es lorentziano plano. Con la conexión de espín es

ω_{\hat{b} m}^{\hat{C}} = {mi}^{\hat{C}}_{v} \partial_{m} {mi}_{\hat{b}}^{v} + {Γ^{v}}_{σ m} {mi}^{\hat{C}}_{v} {mi}_{\hat{b}}^{σ},

$\omega^{\hat{c}}_{\hat{b}\mu} = {e^{\hat{c}}}_{\nu}\partial_\mu {e_{\hat{b}}}^{\nu} + {\Gamma^\nu}_{\sigma\mu} {e^{\hat{c}}}_{\nu} {e_{\hat{b}}}^{\sigma},$ dónde

{Γ^{ν}}_{σ μ}

${\Gamma^\nu}_{\sigma\mu}$ son los símbolos de Christoffel.

PREPARACIÓN: Ahora imaginemos que hay algunos campos de materia bosones $\phi$ o fermiones $\psi$ acoplando a la métrica del espacio-tiempo, e integramos los bosones $\phi$ o fermiones $\psi$ para obtener las acciones efectivas que involucran la acción gravitatoria de Chern-Simons en 2+1D.

Entonces, una acción gravitacional de Chern-Simons 2 + 1D puede ser (conexión de espín $\omega$ ):

\begin{matrix} (1) & S = \int ω \land d ω + \frac{2}{3} ω \land ω \land ω \end{matrix}

$S=\int\omega\wedge\mathrm{d}\omega + \frac{2}{3}\omega\wedge\omega\wedge\omega \tag{1}$

Estoy seguro de que esto funciona para fermiones.

P2: sin embargo, si los bosones tienen espín 0 o espín 1, ¿todavía tenemos una conexión de espín? ¿Supongo que todavía sí?

P3: o, ¿tenemos una acción gravitacional de Chern-Simons 2+1D para que los bosones sean (la conexión $\Gamma$ ):
$\begin{matrix} (2) & S = \int Γ \land d Γ + \frac{2}{3} Γ \land Γ \land Γ \end{matrix}$ $S=\int\Gamma\wedge\mathrm{d}\Gamma + \frac{2}{3}\Gamma\wedge\Gamma\wedge\Gamma \tag{2}$

P4: ¿Cuáles son las diferencias entre Eq.1 y Eq.2 en términos de campos de fondo? (supongamos que la métrica $g_{\mu\nu}$ está acoplado a materias, ya sea bosones o fermiones).

Por favor, siéntase libre de dar Referencia. Y asegúrese de que su respuesta corresponda a mi punto P1-4.

Respuestas (1)

Teoría gravitacional de Chern-Simons para bosones y fermiones

Urs Schreiber · Answer 1

Aunque es estándar, existe una desafortunada confusión causada por la forma en que se usa el término " conexión de espín " en la literatura de física.

La fórmula que das para relacionar los símbolos de Christoffel con los $\omega$ -cosa con índices sombreados es una fórmula que relaciona dos encarnaciones de componentes locales diferentes pero equivalentes de la conexión Levi-Civita . Sucede que los componentes expresados en $\omega$ -la forma naturalmente se presta mejor a los componentes- descripción del término de acoplamiento mínimo de la conexión a los fermiones, pero intrínsecamente, es decir, equivalencias de calibre que relacionan diferentes expresiones de componentes locales, la conexión $\nabla$ que se expresa localmente por " $\Gamma$ " es equivalente a la expresada localmente por " $\omega$ ", estas son solo dos encarnaciones locales diferentes de lo que intrínsecamente es la misma cosa física.

La verdadera pregunta es esta: en una variedad orientada, la conexión Levi-Civita $\nabla$ a priori es (o da de manera equivalente, es decir, en el paquete de marcos asociado) un $SO(n)$ - conexión principal . Para eventualmente acoplar fermiones a esto, uno necesita pedirle que se eleve (en el sentido de las estructuras G ) a un $Spin(n)$ -conexión principal.

Pero tenga en cuenta que en su pregunta anterior nunca aparecen fermiones reales. Lo que realmente estás pidiendo es el funcional de Chern-Simons. $CS(\nabla)$ en $SO(n)$ -conexiones principales o en $Spin(n)$ -conexiones principales.

Consulte la "teoría SO (n) -Chern-Simons" y similares, y tal vez vuelva a formular su pregunta en ese momento.

Si entiendo su respuesta, entonces mi Eq 1 y 2 funcionan para la teoría gravitacional de Chern-Simons al integrar los campos de materia que se acoplan a las métricas, tanto para los bosones como para los fermiones, Eq 1 y 2 se mantienen. Entonces no hay tal distinción. ¿Estás de acuerdo?
¿Cuál es la referencia de la teoría SO(n)-Chern-Simons que recomienda?
¿también iluminarías esto: physics.stackexchange.com/questions/153721/… ?

Teoría gravitacional de Chern-Simons para bosones y fermiones

Anónimo

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Urs Schreiber

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