Acerca de la gravedad masiva topológica

Gravedad topológicamente masiva formulada en términos de$\Gamma$o$\omega$es el mismo; por ejemplo, en el artículo de Maloney sobre los microestados geométricos del agujero negro tridimensional , utiliza el$\Gamma$formulación, y la charla de Witten sobre la revisión$2+1$-la gravedad dimensional incluye el término de Chern-Simons con la conexión de espín$\omega$, pero ambos están describiendo la misma teoría.

Una sutileza que me gustaría señalar, al realizar reformulaciones de campos, es que puede modificarlo de una manera no trivial. En particular, la gravedad en$2+1$dimensiones se considera trivial, pero cuando se formula en términos de un campo de calibre fuera de la conexión y vierbein,

$$A = \begin{pmatrix} \omega & e\\ -e & 0 \end{pmatrix}$$

permitiendo un no invertible$e$y por lo tanto configuraciones no clásicas. Resulta que esto hace que la acción de Einstein-Hilbert esté mal definida a menos que el acoplamiento esté cuantificado.

Dado que parece interesado en la gravedad masiva topológica, y dado que no se mencionó en los artículos que enumeró, me gustaría señalar que Witten y otros han conjeturado que si la conjetura de Frenkel-Lepowsky-Meurman es cierta, puede sea ​​que el dual$k=1$CFT es la teoría cuya simetría describe el grupo Monster. No sé si esta vía es de su interés.

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Para mostrar explícitamente la equivalencia, parece bastante complicado. Como punto de partida, tenga en cuenta la relación entre la conexión de espín$\omega$y la conexión afín$\Gamma$como,

$$\Gamma^\lambda_{\mu\nu} = e^\lambda_A \partial_\mu e^A_\nu + e^\lambda_A e^B_\nu {\omega_\mu}^A_B$$

donde los índices romanos en mayúscula denotan la base ortonormal y los índices griegos la base de coordenadas. Podemos sustituir esto en el término de Chern-Simons para$\Gamma$, que está explícitamente en notación de índice,

$$\mathcal L \sim \epsilon^{\lambda\mu\nu} \Gamma^\rho_{\lambda \sigma} \left( \partial_\mu \Gamma^\sigma_{\rho\nu} + \frac{2}{3} \Gamma^\sigma_{\mu\kappa} \Gamma^\kappa_{\nu\rho}\right),$$

usando la definición del producto cuña y la derivada exterior. Usando la relación entre las conexiones, tenemos, por lo tanto,

$$\mathcal L \sim \epsilon^{\lambda\mu\sigma}\left(e^\rho_A \partial_\lambda e^A_\nu + e^\rho_A e^B_\sigma {\omega_\lambda}^A_B \right) \bigg[ \partial_\mu \left( e^\sigma_A \partial_\rho e^A_\nu + e^\sigma_A e^B_\nu {\omega_\rho}^A_B\right)+ \bigg.\\ + \bigg. \frac{2}{3} \left(e^\sigma_A \partial_\mu e^A_\kappa + e^\sigma_A e^B_\kappa {\omega_\mu}^A_B \right) \left( e^\kappa_A \partial_\nu e^A_\rho + e^\kappa_A e^B_\rho {\omega_\nu}^A_B\right)\bigg].$$

En este punto, es una cuestión de manipulación tediosa, que con suerte debería mostrar una equivalencia con la teoría en términos de la conexión de espín.