Estadísticas de trenzado de anyons de una teoría no abeliana de Chern-Simon

¿Cómo obtener esta matriz de trenzado a partir de la teoría no abeliana de Chern-Simon?

Para obtener matriz de trenzado$U^{ab}$para partículas$a$y$b$, primero necesitamos saber la dimensión de la matriz. Sin embargo, la dimensión de la matriz para la teoría no abeliana de Chern-Simon NO está determinada por$a$y$b$solo. Digamos si ponemos cuatro partículas$a,b,c,d$en una esfera, la dimensión de los estados fundamentales degenerados depende de$a,b,c,d$. Así que incluso la dimensión de la matriz de trenzado$U^{ab}$depende de$c$y$d$. La "matriz de trenzado"$U^{ab}$no está determinado por las dos partículas$a$y$b$.

En pocas palabras: físicamente, las estadísticas no abelianas no están descritas por la "matriz de trenzado" de las dos partículas$a$y$b$, sino por categoría de tensor modular.

El factor de "fase" (unitario) para anyons no abelianos satisface la ecuación (no abeliana) de Knizhnik-Zamolodchikov:

Dónde$z_{\alpha}$es la coordenada del plano complejo de la partícula$\alpha$, y$Q^a_{\alpha}$es la matriz representativa de la$a-$th generador de grupo de calibre de la partícula$\alpha$y$k$es el nivel.

Consulte los siguientes dos artículos de Lee y Oh ( artículo-1 , artículo-2 ).

En el primer artículo escriben explícitamente la solución en el caso del problema de los dos cuerpos:

Los artículos describen el método de solución:

El factor de fase no abeliano se puede obtener a partir de un modelo mecánico cuántico de$N$partículas en el plano cada una perteneciente posiblemente a una representación diferente del grupo de calibre mínimamente acoplado a un campo de calibre con un término de Chern-Simons en el Lagrangiano.

Las ecuaciones de campo clásicas del potencial de calibre se pueden resolver y sustituir exactamente en el hamiltoniano. El hamiltoniano reducido también se puede resolver exactamente. Su solución viene dada por la acción de un factor de fase unitario sobre una función de onda simétrica. Este factor satisface la ecuación de Knizhnik-Zamolodchikov.

El factor de fase unitario vive en el producto tensorial del espacio de Hilbert de las representaciones de partículas individuales. La función de onda es un vector en esta función holomorfa valorada en el espacio de Hilbert dependiendo de la$N$puntos en el plano.