Definición teórica de categorías de espacios topológicos.

Sabemos que para estructuras algebraicas como grupos y anillos, los axiomas en su definición se pueden escribir en términos de objetos y morfismos en la categoría de conjuntos y, por lo tanto, se pueden generalizar para dar objetos de grupo y objetos de anillo dados aquí y aquí respectivamente . Me preguntaba si podríamos hacer algo similar para los espacios topológicos.

Al definir la topología en un conjunto X , primero identificamos una colección de subconjuntos de X como los conjuntos abiertos. Correspondientemente, tenemos la noción de subobjetos de un objeto dado en cualquier categoría dada por monomorfismos A ↪ X hasta isomorfismos de tales diagramas. Entonces solo tenemos que traducir las declaraciones que

  1. X y el conjunto vacio ϕ pertenecen a la colección. Esto se puede dar preguntando la identidad en X y el mapa único del objeto inicial ∗ a X , en un monomorfismo y está en nuestra colección.
  2. La colección se cierra bajo intersección finita. Podemos traducir esto como para dos morfismos A ↪ X y B ↪ X en las colecciones, el retroceso del diagrama A ↪ X ↩ B existe y es parte de la colección.
  3. La colección se cierra bajo uniones arbitrarias. Esta es la parte que encuentro más difícil de traducir a una declaración en la teoría de categorías. Lo que estaba pensando es, dada una colección de mapas A i ↪ X , tenemos el mapa inducido del coproducto, ∐ i A i → X . El problema es que este mapa no es un monomorfismo en general, así que para obtener un monomorfismo creo que necesitamos algún tipo de factorización epi-mono canónica.

Mi pregunta es: ¿pueden completarse estos argumentos para obtener una definición teórica de categoría de espacios topológicos? ¿Es esta construcción útil de alguna manera o tiene serios inconvenientes?

Realmente no he investigado lo que hiciste exactamente, pero aquí hay un pensamiento: la definición común de un espacio topológico es bastante "clásica". Por lo general, si desea internalizar un constructo en una categoría, debe tener sentido en las matemáticas constructivas. Este es el caso de los grupos y los anillos (y cualquier otro tipo de álgebra universal), pero no de los espacios topológicos (y, por ejemplo, tampoco de los campos). Una alternativa a los espacios topológicos son los locales: ncatlab.org/nlab/show/locale . Tratar de internalizarlos puede ser un esfuerzo más fructífero.
@StefanPerko ¿Podría dar más detalles sobre lo que quiere decir con "tener sentido en las matemáticas constructivas"?
Es difícil precisar esto, pero: primero que nada, necesita una sola definición constructiva (por ejemplo, la definición de un campo se descompone en muchas definiciones diferentes de manera constructiva) y, además, ciertos teoremas que espera mantener, deben cumplir. Considere, por ejemplo, que no puede probar constructivamente que el intervalo [ 0 , 1 ] como un espacio topológico es compacto, sin embargo, la configuración regional [ 0 , 1 ] es compacto constructivamente. Si te preguntas por qué es importante todo este asunto de las nociones constructivas: es porque la lógica interna de un topos es constructiva, pero "raramente" clásica.
Entonces, una categoría con algunos límites y colimits tiene algún tipo de lógica constructiva interna debilitada (que rara vez es clásica).
@StefanPerko Si nuestra definición se divide en varias definiciones diferentes, ¿no tiene sentido tratar con estas definiciones y ver si algunas de ellas son útiles? Tengo curiosidad porque el problema con la vista local es que no podemos hablar de espacios donde tienes puntos topológicamente indistinguibles. Además, ¿podría decirme qué axiomas de espacios topológicos tienen más probabilidades de resultar problemáticos?
Para ser justos, creo que en el conjunto más común de axiomas para espacios topológicos no hay axiomas problemáticos. Esto fue más un comentario general. - Seguro Por qué no. Uno puede probar estas cosas. Solo estaba pensando, que al final no resulta tan útil, ya que los teoremas básicos se rompen. Solo un pensamiento que tuve, no una respuesta de ninguna manera;)

Respuestas (1)

El axiomático más útil es la noción de topología de Grothendieck, que abstrae la noción de cobertura abierta en lugar de subconjunto abierto. (En otros contextos, generalmente es demasiado fuerte asumir que los "subconjuntos abiertos" son subobjetos). También puede realizar espacios topológicos como álgebras relacionales para la mónada de ultrafiltro, cuyas álgebras reales son espacios compactos de Hausdorff. Pero su noción encapsula la definición clásica: simplemente use uniones de subobjetos, es decir, coproductos en la categoría de subobjetos de X , para conseguir uniones legítimas en lugar de disjuntas.

¡Gracias! Conocía la topología de Grothendieck, pero siempre tuve curiosidad por saber por qué no asumimos que las cubiertas son subobjetos.
Simplemente no es necesario obtener una teoría de la gavilla. El primer ejemplo es la topología etale, donde las cubiertas son familias sobreyectivas de homeomorfismos locales. Por lo tanto, puede desenrollar los funtores a lo largo de un homeomorfismo local, pero algunos funtores también descienden a lo largo de ellos hasta la base, y llamamos a esos haces por esta "topología". Otros conceptos topológicos son menos relevantes para las aplicaciones de estas estructuras.
Definición teórica de categorías de espacios topológicos.
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v