¿Convergen el cociente de Hausdorff y los funtores de modificación completamente regulares?

arreglar un espacio$X$. A continuación introduciremos una secuencia de espacios asociados al mismo. Entenderé los términos regular y completamente regular para no incluir el$T_1$axioma, y ​​cada subcategoría que presente será completa y repleta.

en primer lugar denotar por$hX$el cociente de Hausdorff máximo de$X$. Este es un espacio cociente de$X$con la propiedad de que cualquier mapa$f:X\rightarrow Y$de$X$en un factor de espacio de Hausdorff únicamente a través de un mapa$f':hX\rightarrow Y$. Voy a vincular a los interesados ​​en una definición a esta publicación . En cualquier caso, la asignación$X\mapsto hX$es functorial y define un funtor$Top\rightarrow Top_2$de la categoría de todos los espacios topológicos a la categoría de espacios de Hausdorff.

En segundo lugar escribiremos$crX$para la modificación completamente regular de$X$. Para definirlo notar que el cocero se pone en$X$formar una base para una topología en el conjunto subyacente que es más débil que$X$la topología existente. Entonces$crX$es el conjunto subyacente de$X$equipado con esta nueva topología. La identidad induce un mapa continuo$X\rightarrow crX$y cualquier mapa$f:X\rightarrow Y$de$X$en un espacio completamente regular$Y$factores únicamente a través de un mapa$f'':crX\rightarrow Y$. Nuevamente esto da un funtor$Top\rightarrow Top_{CR}$,$X\mapsto crX$, ahora en la categoría$Top_{CR}$de espacios completamente regulares.

Darse cuenta de$crX$es Hausdorff si y solo si$X$es completamente Hausdorff. En general$crX$no será Hausdorff, aunque$X$sí mismo es Similarmente$hX$, aunque Hausdorff, no tiene por qué ser completamente regular. Así nos vemos llevados a considerar los espacios$h(crX)$y$cr(hX)$. Ahora bien, el primero de estos espacios no necesita ser completamente regular, y el segundo no necesita ser Hausdorff, así que introducimos los espacios$cr(h(crX))$y$h(cr(hX))$. Continuando obtenemos una secuencia de espacios potencialmente infinita, obtenida por aplicación alternativa de los funtores$h$y$cr$. La secuencia terminará exactamente cuando apliquemos$h$a un espacio de Hausdorff, o$cr$a un espacio completamente regular.

¿Estas sucesiones convergen necesariamente en espacios de Hausdorff completamente regulares?

Supongo que no. Por ejemplo, si reemplazamos$h$con el funtor de k-ificación , que reemplaza$X$con su reflejo generado de forma compacta$kX$, entonces se sabe que hay un espacio completamente regular$Y$y un espacio k$Z$para cual$kY=Z$y$crZ=Y$. Por otro lado, no tengo ningún contraejemplo para mi pregunta anterior.

Nota:$X$siempre tiene su Hausdorff completamente regular, también conocido como Tychonoff , modificación$tX$, que es la imagen del mapa canónico$X\rightarrow I^{C(X,I)}$. A pesar de$tX$tiene una propiedad universal con respecto a los espacios de Tychonoff, este no es el espacio que estoy buscando. Estoy interesado en la secuencia que construyo arriba.