Ingenuamente, uno esperaría que las ecuaciones EL que surgen de una acción contengan derivadas (del campo dinámico) de un orden que sea el doble del orden de la derivada de mayor orden (del campo dinámico) presente en la acción. Sin embargo, a partir de la acción de Einstein-Hilbert, sabemos que esta expectativa no siempre es cierta.
Para recapitular la historia, las derivadas de mayor orden de la métrica en la acción EH son las derivadas de segundo orden de la métrica, provenientes de la términos del escalar de Ricci. Sin embargo, las ecuaciones de Einstein no contienen derivadas de tercer orden de la métrica, sino solo derivadas de segundo orden (o inferior) de la métrica. Esto se ve fácilmente al notar que la derivada de mayor orden de la métrica presente en el tensor/escalar de Ricci es la derivada de segundo orden de la métrica, nuevamente, proveniente del términos. Esta magia sucede porque uno puede escribir la densidad EH Lagrangiana como una parte que contiene solo las derivadas de primer orden (o inferiores) de la métrica y una parte que contiene las derivadas de segundo orden (o inferiores) de la métrica, y la segunda parte se vuelve parece ser un término de divergencia pura que no contribuiría a las ecuaciones EL. Por lo tanto, nos quedamos con las ecuaciones EL que contienen las derivadas de segundo orden de la métrica como la derivada de mayor orden de la métrica.
Yo no sabía esto hasta hace muy poco, y recuerdo haber usado el razonamiento de "la acción es del -ésimo orden en derivadas de los campos dinámicos por lo que obtendríamos Derivadas de -ésimo orden del campo dinámico en las ecuaciones de movimiento" múltiples situaciones en física. Ahora, me extraña que las ecuaciones de movimiento sean un orden más bajas de lo esperado en múltiples situaciones, ya que no parece fácil de detectar en cuanto a si existe una descomposición de la densidad lagrangiana en partes de divergencia pura y no de divergencia pura de tal manera que todos los términos derivados de mayor orden estén en las partes de divergencia pura. ¿Hay alguna forma de examinar la acción para saber si este es el caso o no sin derivar las ecuaciones EL explícitamente?
Si la densidad lagrangiana tiene como máximo derivadas del espacio-tiempo, entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) tendrán como máximo derivados del espacio-tiempo.
Términos de divergencia total en la densidad lagrangiana no afecta las ecuaciones EL. Como OP ya menciona, uno podría ser capaz de reescribir en una pieza con, digamos, solo derivados del espacio-tiempo, por lo que la ecuación EL tendrá como máximo derivados del espacio-tiempo.
El mecanismo en pt. 2 es lo que sucede para la acción de Einstein-Hilbert de segundo orden, cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .
En una teoría dada, podría ser tedioso/difícil identificar todos los posibles términos de divergencia total ocultos. En la práctica, es más sencillo derivar las ecuaciones EL para empezar, y si el orden de las derivadas es menor que el esperado, trate de identificar un término de divergencia total oculto en que provoca el desajuste.
Ashley Chraya