Integración sobre la hipersuperficie en la acción de Einstein-Hilbert

Question

Integración sobre la hipersuperficie en la acción de Einstein-Hilbert

Física
Ley de Gauss
relatividad general
cálculo variacional
principio variacional

Constantino

En la variación de la acción de Einstein-Hilbert la integral del término $d^4x\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}$ sobre la variedad de espacio-tiempo es igual a cero.

I = \int_{METRO} d^{4} X \sqrt{- gramo} {gramo}^{m v} d R_{m v} = \int_{METRO} d^{4} X \sqrt{- gramo} D_{m} ({gramo}^{α β} d Γ_{α β}^{m} - {gramo}^{α m} d Γ_{α β}^{β})

$I=\underset{\mathcal M}\int d^4x\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}=\underset{\mathcal M}\int d^4x\sqrt{-g}D_{\mu}(g^{\alpha\beta}\delta\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}-g^{\alpha\mu}\delta\Gamma^{\beta}_{\alpha\beta})$

denotando $g^{\alpha\beta}\delta\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}-g^{\alpha\mu}\delta\Gamma^{\beta}_{\alpha\beta}=\delta\mathcal V^{\mu}:$

\int_{METRO} d^{4} X \sqrt{- gramo} D_{m} d V^{m} = \oint_{\partial METRO} d Σ_{m} d V^{m} = 0

$\underset{\mathcal M}\int d^4x\sqrt{-g}D_{\mu}\mathcal \delta V^{\mu}=\underset{\partial \mathcal M}\oint d\Sigma_{\mu}\delta\mathcal V^{\mu}=0$ dónde

d Σ_{μ} = n_{μ} \sqrt{| γ |} d^{3} ξ

$d\Sigma_{\mu}=n_{\mu}\sqrt{|\gamma|}d^3\xi$ ,

γ

$\gamma$ es

3

$3$ métrica inducida -dimensional. ¿Cuál es la razón de ser cero de la integral?

Oro

Por lo general, cuando uno está realizando la variación de la acción para obtener las ecuaciones de movimiento de la teoría y de repente descarta los términos de contorno, la suposición no establecida es que se supone que las variaciones de los campos son de soporte compacto, lo que significa que desaparecen. fuera de un conjunto compacto. En ese caso, estas integrales de contorno terminan siendo cero. Pero si las variaciones no se sustentan de forma compacta, no se pueden descartar estos términos. En particular, son relevantes para definir la forma simplética siguiendo el método de Wald. Consulte, por ejemplo, aip.scitation.org/doi/10.1063/1.528801 .

Respuestas (1)

Integración sobre la hipersuperficie en la acción de Einstein-Hilbert

Por lo general, cuando uno está realizando la variación de la acción para obtener las ecuaciones de movimiento de la teoría y de repente descarta los términos de contorno, la suposición no establecida es que se supone que las variaciones de los campos son de soporte compacto, lo que significa que desaparecen. fuera de un conjunto compacto. En ese caso, estas integrales de contorno terminan siendo cero. Pero si las variaciones no se sustentan de forma compacta, no se pueden descartar estos términos. En particular, son relevantes para definir la forma simplética siguiendo el método de Wald. Consulte, por ejemplo, aip.scitation.org/doi/10.1063/1.528801 .

Nadie · Answer 1

Nadie

Esta es la divergencia de un vector. Se puede usar el teorema de Stokes y decir que esto es igual a una contribución de límite en el infinito, que es lo que podemos establecer como igual a cero.

Constantino

En el infinito/límite de una hipersuperficie, ¿la variación de la métrica es cero debido a una variación insignificante de la métrica?

Nadie

Consideramos que las deformaciones del campo se anulan en la frontera.

Constantino

El campo está aquí es el campo métrico?

Nadie

Sí, me refiero al campo en el que variamos respecto.

prahar

Esto no es correcto. La acción de Einstein-Hilbert contiene hasta dos derivadas en la métrica, por lo que el término límite que ha escrito contiene

δ g_{μ ν}

$\delta g_{\mu\nu}$ y su primera derivada. El término de frontera desaparece si ambos

δ g_{μ ν}

$\delta g_{\mu\nu}$ Y su derivada desaparece en el límite. Hacer esto simultáneamente resulta ser una condición demasiado fuerte por lo que debemos elegir una. La condición de contorno estándar es suponer que

δ g_{μ ν} |_{bdy} = 0

$\delta g_{\mu\nu}|_{\text{bdy}} = 0$ . El término que involucra a su derivado debe cancelarse AGREGANDO un término adicional a la acción (consulte tinyurl.com/sh5oh3g ).

Nadie

@Prahar tiene razón. Editaré mi respuesta.

prahar

@ApolloRa: su respuesta editada sigue siendo incorrecta. ¡El término límite no es cero! Ese es el punto de mi comentario! Necesitamos AGREGAR un segundo término a la acción de Einstein-Hilbert (llamado el término GHY) para cancelar esta contribución límite.

Nadie

arxiv.org/pdf/gr-qc/9712019.pdf página 115

prahar

@ApolloRa: está claro que estas notas de clase son una introducción muy básica a GR y que, por lo tanto, Carroll está ocultando muchas cosas debajo de la alfombra. Obviamente, esto está bien ya que los problemas de límites no son algo que se espera que enseñe un curso introductorio. En cambio, si lees su libro de texto (Spacetime and Geometry de Carroll) (el párrafo debajo de la ecuación (4.65)), verás que tiene una oración adicional sobre los problemas de límites que mencioné. Nuevamente, no lo discute en detalle ya que descarrila la discusión principal en la que está interesado el autor.

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Constantino

Oro

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Nadie

Constantino

Nadie

Constantino

Nadie

prahar

Nadie

prahar

Nadie

prahar

Definición rigurosa de la variación.

¿Por qué los términos de frontera hacen que el principio variacional esté mal definido?

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