Derivadas funcionales como distribuciones

He preguntado esto en el intercambio de pila de matemáticas, debido a su contenido principalmente matemático, pero aparte de un voto a favor y vistas mínimas, no ha llamado la atención, así que lo estoy intentando aquí también. Esto no es nada importante en realidad, pero me ha estado dando vueltas mientras estudiaba el formalismo variacional en relatividad general.

"Dejar$(M,\mathcal{S},g)$ser suave,$n$-variedad dimensional equipada con una métrica de Riemann. Denotemos el espacio vectorial de$(p,q)$-escribir campos tensoriales en$M$como$\mathcal{T}_{q}^{p}(M)$.

Dejar$\Psi:\mathbb{R}\rightarrow\mathcal{T}_{q}^{p}(M),\varepsilon\mapsto\Psi(\varepsilon)$sea ​​una curva suave y usemos la notación donde$\Psi$denota$\Psi(0)$.

Dejar$S:\mathcal{T}_{q}^{p}(M)\rightarrow\mathbb{R}$ser funcional, de tal manera que

$$S[\Psi]=\int_{M}\mathcal{L}(\Psi,\nabla\Psi)\sqrt{|\det(g)|}\mathrm{d}x^{1}\wedge...\wedge\mathrm{d}x^{n}.$$

En este caso, decimos$S$es funcionalmente derivable en$\Psi$, si existe un$\frac{dS[\Psi]}{d\Psi}\in\mathcal{T}_{p}^{q}(M)$campo tensorial, que

$$\left.\frac{dS[\Psi(\varepsilon)]}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}=\int_M\frac{dS[\Psi]}{d\Psi}\bullet\left.\frac{d\Psi(\varepsilon)}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}\sqrt{|\det(g)|}\mathrm{d}x^{1}\wedge...\wedge\mathrm{d}x^{n},$$ dónde $\bullet$denota contracción completa.

Mis preguntas se refieren a los detalles técnicos de este derivado. Los libros de física generalmente no imponen condiciones rigurosas sobre el espacio de los campos tensoriales en los que$S$se define.

¿Qué estructuras necesita poseer este espacio para que esto tenga sentido? Supongo que la topología de Hausdorff es imprescindible, pero ¿es necesario normalizarla? Si es así, ¿qué norma usamos que no entre en conflicto con la física, o qué norma tiene sentido en un contexto físico?

Wald menciona en una nota al pie que, en general, es necesario que exista una distribución tensorial , de modo que

$$\left.\frac{dS[\Psi(\varepsilon)]}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}=\left\langle\frac{dS[\Psi]}{d\Psi},\left.\frac{d\Psi(\varepsilon)}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}\right\rangle.$$ ¿Hay alguna situación concebible dentro de los límites de la física, donde esta distribución es singular, es decir. no existe como una integral?"