Representación de posición en mecánica cuántica

El operador de posición en tres dimensiones es un operador vectorial que, como en la respuesta de mpv, actúa como

$$\hat{\mathbf r}\psi(\mathbf r)=\mathbf r \psi(\mathbf r).$$ Tenga en cuenta que el sombrero denota un operador y no un vector unitario.

La definición de un operador vectorial es algo complicada y, de hecho, es sorprendente que un operador pueda tener valores propios vectoriales. Sorprendentemente, la manera de hacer esto riguroso es hacerlo componente por componente. Lo que eso significa es que un operador vectorial como la posición (pero también el momento, el momento angular y muchos otros) es en realidad un trío de operadores,

$$\hat x_1, \hat x_2, \text{ and }\hat x_3,$$ que se ven obligados a jugar bien con las rotaciones. Por lo tanto, si rota a un sistema de referencia $(x_1',x_2',x_3')=(x_2,-x_1,x_3)$girando 90° sobre el $z$eje, digamos, entonces lo mismo sucederá con los operadores.

Algunos operadores vectoriales tienen componentes que conmutan entre sí, como la posición. En este caso, puede tener estados propios simultáneos,$|\mathbf r⟩=|x_1,x_2,x_3⟩$, para el cual cada componente actúa como un escalar, por lo que

$$\hat x_j|\mathbf r⟩=\hat x_j|x_1,x_2,x_3⟩ = x_j|x_1,x_2,x_3⟩= x_j|\mathbf r⟩\text{ for each }j.$$ Otros operadores vectoriales, como el momento angular o el vector de Runge-Lenz , no tienen esta propiedad, por lo que son un poco más difíciles de manejar.

La razón por la que esto se hace componente por componente es para simplificar las cosas, particularmente cuando se generalizan operadores vectoriales pasados ​​hacia operadores tensoriales como acoplamientos cuadripolares, etc. Si desea leer más sobre esto, Edmonds es la referencia estándar.

El operador de posición en 3D es un vector en 3D:

$$\hat{\bf r} \psi({\bf r}) = {\bf r} \psi({\bf r})$$

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