¿Por qué se necesita la propiedad del "espacio métrico completo" de los espacios de Hilbert en la mecánica cuántica?

Si solo tuviera un número finito de números racionales, podría sumarlos un número finito de veces y multiplicarlos un número finito de veces y nunca preocuparse de si$\pi$era un número racional. Y en particular, no tendría que preocuparse por si hay un número al que convergen 3, 3.1, 3.14, ... etcétera.

Podrías hacer mecánica cuántica de la misma manera, si solo tuvieras un número finito de vectores de estado, y solo tomaras productos internos de ellos y sumas de ellos y múltiplos escalares de ellos, nunca tendrías que preocuparte por la integridad, porque no me preocuparía si$3|\Phi_0\rangle$,$3|\Phi_0\rangle+0.1|\Phi_1\rangle$,$3|\Phi_0\rangle+0.1|\Phi_1\rangle+0.04|\Phi_2\rangle$, ... converge (donde todos los$|\Phi_n\rangle$son mutuamente ortogonales).

Entonces, si sabe que solo va a trabajar con algunas soluciones particulares para una ecuación en particular, no lo necesita en absoluto. Y eso cubre mucho. Si cada experimento realista solo puede distinguir un número finito de estados de manera confiable, entonces, para cualquier configuración experimental en particular, puede hacer una teoría que prediga correcta y adecuadamente la probabilidad de cada resultado observable experimentalmente. Así que eso es completamente cuánto no importa. Importa si quiere hablar sobre toda una serie de experimentos cada vez mejores, si tiene que hacer una nueva configuración teórica cada vez que pueda volverse molesto, así que si escucha a un matemático decirle que puede configurar un sistema y encontrar todos sus respuestas allí, el atractivo es quizás obvio, suponiendo que confíe en el matemático.

No es así como sucedió históricamente. Si asume los conmutadores canónicos$[x,p]=i\hbar$y considere la mecánica matricial original de Heisenberg, se requiere una base infinita si desea asumir todas las cosas normales. Pero no es prudente confundir una hipótesis que usa para generar predicciones experimentales y las herramientas reales que usa para hacer las predicciones reales. En los primeros días, estás tratando de aprender sobre una nueva forma de hacer las cosas, que es diferente a hacer las cosas en sí.

Pero no necesitamos un estado al que converjan un montón de configuraciones experimentales diferentes. Si puede crear un estado en el laboratorio o en la naturaleza, hágalo y haga que sea uno de los muchos finitos. Si no puede hacerlo, sea honesto y tenga en cuenta que, en el mejor de los casos, es solo una conveniencia de cálculo: no una configuración, resultado o proceso realizado experimentalmente.

A los matemáticos les gusta la integridad, y puede ser útil para hablar sobre mecánica cuántica, por lo que probablemente deberías aprenderla. Los espacios de productos internos de dimensión finita ya están completos, por lo que no es como si estuvieras usando espacios no completos.

Todos los espacios de productos internos tienen una métrica determinada por el producto interno, solo aparece porque la completitud es una propiedad de la métrica, es decir, está completa con respecto a esa métrica.

Un espacio completo significa la idea de tener una y solo una representación para cada vector.$\mathbf{x}$del espacio$\mathfrak{h}$, como$\mathbf{x} = \sum_i a_i \mathbf{e}_{i}$($i = 1, 2, ...$) con coeficientes únicos$a_i$y vectores ortonormales$\mathbf{e}_i$en$\mathfrak{h}$. En mecánica cuántica,$\mathbf{e}_i$a menudo serán los vectores propios de algún operador autoadjunto$\hat{T}$(con$\hat{T} e_i = q_i \mathbf{e}_i$) con valores propios$q_i$. En caso$\hat{T} = \hat{H}$(Operador de energía = Operador hamiltoniano) de un sistema,$q_i$serán los niveles de energía de un sistema.