Definición del vector de velocidad angular de BBB en AAA - Notación extraña

Question

Definición del vector de velocidad angular de BBB en AAA - Notación extraña

Física
vectores
notación
educación
definición
velocidad angular

Genaro Arguzzi

Encontré la siguiente definición de vector de velocidad angular de B en A en la página 49 del libro "Thomas R. Kane, Peter W. Likins, David A. Levinson - Spacecraft Dynamics - McGraw-Hill (1981)":

El problema es la notación utilizada. Si quiero el vector de velocidad angular de B relativo a A, tengo que escribir cada uno de los 3 términos en el marco de referencia A ( $a_1, a_2, a_3$ vectores unitarios de un marco de referencia; $b_1,b_2,b_3$ vectores unitarios del marco de referencia B:

{\vec{ω}}_{A \to B} |_{A} = ({\vec{ω}}_{A \to B} |_{A} \cdot {\hat{b}}_{1} |_{A}) {\hat{b}}_{1} |_{A} + ({\vec{ω}}_{A \to B} |_{A} \cdot {\hat{b}}_{2} |_{A}) {\hat{b}}_{2} |_{A} + ({\vec{ω}}_{A \to B} |_{A} \cdot {\hat{b}}_{3} |_{A}) {\hat{b}}_{3} |_{A} = ω_{b_{1}, A \to B} |_{A} {\hat{b}}_{1} |_{A} + ω_{b_{2}, A \to B} |_{A} {\hat{b}}_{2} |_{A} + ω_{b_{3}, A \to B} |_{A} {\hat{b}}_{3} |_{A}

$\overrightarrow{\omega}_{A\rightarrow B}\Bigr|_{A} = % % \left( \overrightarrow{\omega}_{A\rightarrow B}\Bigr|_{A} \cdot \hat{b}_1\Bigr|_{A} \right) \hat{b}_1\Bigr|_{A} + % % \left( \overrightarrow{\omega}_{A\rightarrow B}\Bigr|_{A} \cdot \hat{b}_2\Bigr|_{A} \right) \hat{b}_2\Bigr|_{A} + % % \left( \overrightarrow{\omega}_{A\rightarrow B}\Bigr|_{A} \cdot \hat{b}_3\Bigr|_{A} \right) \hat{b}_3\Bigr|_{A} = % % % \omega_{b_1,A\rightarrow B}\Bigr|_{A} \hat{b}_1\Bigr|_{A} + % % \omega_{b_2,A\rightarrow B}\Bigr|_{A} \hat{b}_2\Bigr|_{A} + % % \omega_{b_3,A\rightarrow B}\Bigr|_{A} \hat{b}_3\Bigr|_{A} % %$

dónde $\omega_{b_i,A\rightarrow B}\Bigr|_{A}$ es el componente a lo largo $\hat{b}_i$ del vector de velocidad angular de B relativo a A expresado en A. En lugar $\hat{b}_i\Bigr|_{A}$ es el vector unitario $\hat{b}_i$ de B expresado en A.

¿Es esto correcto?

EDITAR: en la Sec. 1.10 el autor dijo que A y B son 2 cuerpos rígidos que se mueven uno respecto al otro:

Gracias de antemano.

Juan Alexiou

La operación es un simple cambio de coordenadas (rotación) y la notación no es extraña sino normal para cualquier vector cuyas componentes necesiten ser transformadas entre diferentes marcos.

Genaro Arguzzi

Hola @ ja72, ¿mi ecuación es correcta?

Juan Alexiou

La rotación angular no depende de un punto, sino solo de la orientación, por lo que el subíndice

A \to B

$A \rightarrow B$ es engañoso en mi humilde opinión. El cambio de orientación se realiza mejor con una matriz de 3 × 3 como una operación matriz-vector porque la expresión se vuelve innecesariamente larga cuando se expresa componente por componente.

Respuestas (1)

Definición del vector de velocidad angular de BBB en AAA - Notación extraña

La operación es un simple cambio de coordenadas (rotación) y la notación no es extraña sino normal para cualquier vector cuyas componentes necesiten ser transformadas entre diferentes marcos.
La rotación angular no depende de un punto, sino solo de la orientación, por lo que el subíndice $A \rightarrow B$ es engañoso en mi humilde opinión. El cambio de orientación se realiza mejor con una matriz de 3 × 3 como una operación matriz-vector porque la expresión se vuelve innecesariamente larga cuando se expresa componente por componente.

Juan Alexiou · Answer 1

Tiene dos marcos de coordenadas A y B con vectores de dirección dispuestos en columnas de una matriz de rotación de 3 × 3

\begin{aligned} A & = | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{matrix} | & B & = | \begin{matrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} | \end{aligned}

$\begin{aligned} \boldsymbol{A} & = \left| \matrix{ \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{a}_2 & \boldsymbol{a}_3 } \right| & \boldsymbol{B} & = \left| \matrix{ \boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{b}_2 & \boldsymbol{b}_3 } \right| \end{aligned}$

La transformación entre estos dos marcos de coordenadas para cualquier vector $\boldsymbol{\omega}$ es

\begin{aligned} ^{B} ω^{A} & = (B^{⊤} A)^{A} ω^{A} \\ = | \begin{matrix} b_{1}^{⊤} a_{1} & b_{1}^{⊤} a_{2} & b_{1}^{⊤} a_{3} \\ b_{2}^{⊤} a_{1} & b_{2}^{⊤} a_{2} & b_{2}^{⊤} a_{3} \\ b_{3}^{⊤} a_{1} & b_{3}^{⊤} a_{2} & b_{3}^{⊤} a_{3} \end{matrix} |^{A} ω^{A} \end{aligned}

$\begin{aligned} \sideset{^B}{^A} {\boldsymbol{\omega}} & = (\boldsymbol{B}^\top \boldsymbol{A}) \sideset{^A}{^A} {\boldsymbol{\omega}} \\ & = \left| \matrix{ \boldsymbol{b}_1^\top \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{b}_1^\top \boldsymbol{a}_2 & \boldsymbol{b}_1^\top \boldsymbol{a}_3 \\ \boldsymbol{b}_2^\top \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{b}_2^\top \boldsymbol{a}_2 & \boldsymbol{b}_2^\top \boldsymbol{a}_3 \\ \boldsymbol{b}_3^\top \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{b}_3^\top \boldsymbol{a}_2 & \boldsymbol{b}_3^\top \boldsymbol{a}_3 } \right| \sideset{^A}{^A} {\boldsymbol{\omega}} \end{aligned}$

_{Dónde $\boldsymbol{b}^\top \boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a} = b_x a_x + b_y a_y + b_z a_z$ es el producto interior de los dos vectores.}

Hola @ja72, si A y B son 2 cuerpos rígidos, ¿cuál es el significado de $^A \omega ^A$ ? Si estoy sentado en A, veré cada punto de A fijo con velocidad (lineal y angular) igual a cero. Vea la pregunta editada por favor.
$^A \omega ^A$ es la velocidad angular de A tal como se describe en el marco de coordenadas A. El marco de coordenadas A tiene la misma orientación que el cuerpo A en ese instante. Personalmente, prefiero trabajar solo en coordenadas mundiales.

Definición del vector de velocidad angular de BBB en AAA - Notación extraña

Genaro Arguzzi

Juan Alexiou

Genaro Arguzzi

Juan Alexiou

Respuestas (1)

Juan Alexiou

Genaro Arguzzi

Juan Alexiou

Confusión de símbolos vectoriales: A vs |Ā| cuando se trata de la representación de la magnitud de los vectores

¿Por qué distinguir entre vectores de fila y columna?

Diferencia entre el vector del físico y el vector del matemático

Ambigüedad de dirección de la velocidad angular y el desplazamiento angular a partir de la relación ω=dϕdtω=dϕdt\boldsymbol{\omega}=\frac{d\boldsymbol{\phi}}{dt}

¿Cómo funciona la notación de 4 vectores?

¿Cómo puedo entender el movimiento resultante de esta situación usando el producto cruzado basado en la geometría?

¿En qué contexto se define este concepto de vector?

Significado de la velocidad angular en un sistema giratorio

Definición de los físicos de vectores basada en leyes de transformación.

¿Cuál es la definición de ∂↔∂↔\overleftrightarrow{\partial} en Dirac Lagrangian?