MMM es compacto y orientado/orientable si y solo si el paquete superior es trivial.

¿Es cierto que para un suave$m$-colector$M$y para$\bigwedge^m M := \bigwedge^m(T^{dual}M)$(que entiendo que es su 'paquete superior')

$M$es compacto y orientado/orientable si y sólo si$\bigwedge^m M$es banal?

Bueno, para cualquier suave$m$-colector$M$, Creo$(\bigwedge^m M)_p \cong \bigwedge^m(T^{dual}_pM \cong \mathbb R^m) \cong \mathbb R^{\binom{m}{m}} = \mathbb R$, así que supongo$\bigwedge^m M \cong M \times \mathbb R$, así que creo que específicamente tenemos$\bigwedge^m M$no solo un paquete trivial (definido: isomorfo a$M \times \mathbb R^n$, para algunos$n$) pero como, un haz de líneas trivial (definido: isomorfo a$M \times \mathbb R$). No veo qué tiene que ver con esto compacto u orientado/orientable.

también: creo$M$es de hecho múltiple sin límite, por lo que no estoy seguro de si el teorema de Stokes es relevante. Creo que lo que podría ser relevante es que

1. Una forma suave superior en un liso compacto$m$-múltiple (liso$m$-forma sobre compacto liso$m$-variedad) que nunca es cero nunca es exacta.

2. Liso$m$-colector$M$es orientable si y solo si$M$tiene una forma superior suave que nunca es cero.

3. El grupo de cohomología de deRham superior de una variedad orientable compacta es unidimensional

4. La relación entre la cohomología de derham y el álgebra exterior, que he olvidado. Pero creo que tiene que ver con que las formas son secciones de paquetes de cuña

5. Tal vez algo que ver con la dualidad de Poincaré y esa cohomología compacta de rham = cohomología de rham regular para variedades compactas o algo así