Definición de homomorfismo cruzado

Normalmente, la forma más fácil de lidiar con tales problemas es evitar considerar las acciones grupales correctas. Supongamos que nos dan un grupo$G$y un derecho$G$-módulo$M$con acción$\star$

Entonces podemos hacer$M$una izquíerda$G$-módulo definiendo una izquierda$G$-acción vía

$$g \cdot m = m \star g^{-1}$$

Editar: con los comentarios aclaratorios (gracias @Derek Holt y mis disculpas a quienes disfrutan de las acciones correctas) parece útil agregar una explicación más detallada.

Si$\phi : G \to M$es un cociclo bajo esta acción izquierda inducida, entonces el mapa inducido$\psi : G \to M$(recordando que primero estamos experimentando el automorfismo$G \to G : g \mapsto g^{-1}$) cumple la siguiente condición

$$\begin{align*} \psi(gh) = \phi((gh)^{-1}) &= \phi(h^{-1}g^{-1}) \\ &= h^{-1} \cdot \phi(g^{-1}) + \phi(h^{-1}) \\ &= \psi(g)\star h + \psi(h) \end{align*}$$ que es precisamente la condición de cociclo que estamos reclamando.