Definición de espacio topológico noetheriano

Responderé a estas fuera de orden. asumiré$k$es algebraicamente cerrado.

(3) Correcto,$\mathbb{R}$en la topología euclidiana no es noetheriana ya que, por ejemplo, la secuencia$X_n = [0, 1/n]$es una cadena descendente que no se estabiliza.

(4) Afín$n$-el espacio en la topología de Zariski es noetheriano, esto se deduce de Nullstallensatz (hay una correspondencia inversa de inclusión entre subconjuntos cerrados que corresponden a ideales radicales) y el teorema de la base de Hilbert (que muestra que$k[x_1,...x_n]$es noetheriano, por lo que las cadenas ascendentes de ideales finalmente se estabilizan).

(2) Sí, toma$\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}$, por (4) esto es noetheriano en la topología de Zariski, pero hay una secuencia que di en (3) que no se estabiliza (simplemente no tiene nada que ver con la topología). Lo que está pidiendo es equivalente a pedir un conjunto finito (simplemente elimine un punto, luego 2 puntos, etc.).

(1) Desea que su definición tenga algo que ver con el universo en el que está trabajando. Si la pregunta es solo subconjuntos, solo está preguntando por conjuntos finitos, lo que no es muy interesante ni esclarecedor desde una perspectiva geométrica. La razón principal de esta definición es la observación en (4) anterior de que los subconjuntos cerrados y los ideales (radicales) se corresponden, por lo que desea que sus nociones de Noetherian se alineen. Para el espacio afín, puede pensar que puede insertar una hipersuperficie, luego una subvariedad de codimensión 1 en eso, y así sucesivamente ... pero este proceso tendrá que terminar en un punto.

Editar: leí mal tu pregunta (4). Pero vea mi respuesta a (2): solo tome algunas bolas que estarían cerradas en la topología euclidiana y redúzcalas (simplemente no tendrán nada que ver con la topología de Zariski).