¿Por qué Energy-Momentum tiene un caso especial?

Primero, la ecuación no relativista

La última fórmula relativista siempre es correcta. La primera, si queremos considerar fórmulas "solo absolutamente correctas y exactas", nunca es correcta, excepto en el caso$v=0$. Sin embargo, la ecuación no relativista se puede escribir de manera completamente rigurosa (para describir que es aproximada) como

El límite de los valores de$v$donde se aplica la fórmula no relativista es de hecho "borroso": no se puede citar ningún valor exacto de$v$(excepto por$v=0$, en el sentido inútil descrito anteriormente) donde la fórmula no relativista deja de ser válida. Pero para$v/c\lt 0.1$más o menos, el error es menor que uno por ciento. Para mayor velocidad que$v=c/2$, la fórmula no relativista se vuelve tan mala que no se puede usar en ningún contexto cuantitativo.

El error de la fórmula de energía no relativista -o, más democráticamente, la diferencia entre las dos fórmulas- simplemente aumenta gradualmente de$0$en$v=0$a algo comparable al 100% en$v=c/2$y un gran error para$v\to c$.

La física se basa fundamentalmente en números continuos, lo que significa que casi todas sus cantidades están cambiando gradualmente y sus diferencias y errores también están cambiando gradualmente. Además, los errores más pequeños que un cierto umbral son experimentalmente indetectables, lo que permite decir, en un sentido empírico muy específico, que el error es básicamente cero.

Debido a la omnipresencia de los límites y las afirmaciones limitantes sobre fórmulas, expresiones y teorías en física, uno puede decir que si no comprende y acepta estos conceptos importantes sobre los límites y las expresiones que son equivalentes en los límites, prácticamente no tiene ninguna posibilidad de entender nada en física.

A continuación, ¿por qué esto no funciona en todos los aspectos? seguramente una ecuación debería ser "universal" y aún debería funcionar con cualquier valor dado.

Sí, sería bueno si pudiéramos encontrar una ecuación que fuera "universal". En el caso de la masa m, la energía E y el momento p, existe una ecuación universal de este tipo:

Einstein, siempre quiso crear una teoría\ecuación que se aplicara a todos los aspectos de la física y que no tuviera factores "fudge".

Sí, es un gran triunfo que esta ecuación siempre se aplique a todos los aspectos de la física, sin factores de error:

Encontré casos "especiales" en los que esto no se aplica

¿En realidad? Tengo entendido que la ecuación anterior siempre se aplica. ¿Ha calculado o medido realmente cuál es la supuesta diferencia?

Lo más importante, ¿por qué esto no funciona?

No entiendo. La ecuacion

Si la velocidad del cuerpo$v$es mucho menos que$c$, entonces la ecuación se reduce a$E = (mv^2/2) + mc^2$.

¿Qué quieren decir con "mucho más lento", cuál es el límite para "mucho más lento"?

Lo que quieren decir con "reduce a" y "mucho más lento" es que las personas a menudo están dispuestas a tolerar una pequeña cantidad de error, y dada una cantidad particular de error tolerable, existe un rango de velocidades (incluido 0) donde la ecuación

$E = (mv^2/2) + mc^2$

, aunque no es matemáticamente exactamente correcto, está dentro de ese error tolerable de la ecuación correcta.

Entonces, si estamos dispuestos a tolerar un error de 0.01%, entonces esta fórmula técnicamente incorrecta es adecuada para velocidades v más lentas que 0.1 c =~= 108,000,000 km/h.

A veces hacemos mediciones de mucha mayor precisión; en ese caso, hay un rango más pequeño de velocidades más lentas que brinda la precisión adecuada con la fórmula newtoniana.

Históricamente, este "reducir a" fue importante, porque más de un siglo de investigación mostró que las ecuaciones newtonianas siempre coincidían con los resultados reales observados, dentro del error experimental. La gente se mostró renuente a cambiar a las ecuaciones de Einstein, que, como usted señaló, no son lo mismo que las ecuaciones de Newton. ¿Por qué cambiarían de algo que funciona a una ecuación diferente? El punto es que todos esos experimentos se realizaron a velocidades tan lentas que la diferencia entre la ecuación "correcta" y la ecuación "incorrecta" era demasiado pequeña para medirla. Entonces, para decidir qué ecuación era la correcta, necesitábamos hacer nuevos experimentos en los que la diferencia entre estas ecuaciones fuera lo suficientemente grande como para medirla.

Si pones$p = \gamma mv$dónde$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$y$\beta = \frac{v}{c}$en la ecuación de Einstein, se obtiene

$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 = (\gamma mvc)^2+ (mc^2)^2$

$= (\frac{c^2}{c^2 - v^2})v^2(mc)^2 + (mc^2)^2= (\frac{v^2}{c^2 - v^2})(mc^2)^2 + (mc^2)^2$

$= (\frac{c^2}{c^2 - v^2})(mc^2)^2 = (\gamma mc^2)^2$

$\therefore E = \gamma m c^2\ .$

Ahora aplique una expansión binomial, asumiendo$v \ll c$es decir$\beta \ll 1$:

$E = (1-\beta^2)^{-\frac{1}{2}}mc^2$

$\implies$$E = (1 -\frac{1}{2}(-\beta^2) + O(\beta^4))mc^2$

Ahora tienes la respuesta de todo. Si la precisión que desea en sus cálculos es menor que la proporcionada por el$O(\beta^4)$términos, es decir, si v es tan "pequeño" que en el cálculo de energía, la cuarta potencia de$\frac{v}{c}$no creará mucha diferencia para usted, entonces puede usar la fórmula tomando solo los dos primeros términos e ignorando el resto, en cuyo caso obtiene el resultado que ha indicado en su pregunta:

$E = (1 -\frac{1}{2}(-\beta^2))mc^2 = mc^2 + \frac{1}{2}m\frac{v^2}{c^2}c^2 = mc^2 + \frac{1}{2}mv^2$

Si la velocidad del cuerpo$v$es mucho menos que$c$, entonces la ecuación se reduce a

Esa es una redacción imprecisa, y la causa de su confusión, creo.

La descripción correcta es que la segunda ecuación es una aproximación de la primera, y será más precisa cuanto menor sea la ecuación.$v$es.

La aproximación es importante para comprender la conexión entre la física newtoniana y la relativista, pero no creo que la aproximación tenga mucho propósito práctico más allá de eso.

O haces tus cálculos usando la física newtoniana donde ignoras la relación masa-energía, o los haces usando reglas relativistas donde usas las ecuaciones completas.

Primero, sus hallazgos son correctos y fueron encontrados por Einstein. Sin embargo, el hecho de que aparezca un nuevo término solo muestra que nuestro conocimiento previo era incompleto. El nuevo término expresa la Energía relacionada con la masa en reposo del cuerpo que antes no se consideraba. Y tiene sentido porque antes, al equiparar la Energía de un cuerpo solo se incluían aquellos términos relacionados con formas de Energía en las que sabíamos que podía ocurrir algún intercambio . Dado que no se sabía que la masa se intercambiaba con la energía, la ley para la conservación de la masa se conocía pero se separaba.

En conclusión, el nuevo término no es incompatible con la reproductibilidad de la física anterior, es parte del nuevo conocimiento traído.

En cuanto a lo que se entiende por "mucho más lento", depende de la sensibilidad de su experimento o fenómeno. Pero una buena regla general es: cuando la energía cinética es del orden de la masa en reposo. Recuerde que la energía total de una partícula se relaciona con la masa en reposo$m_0$como

Las ecuaciones especiales del tipo que mencionas son útiles ya que aclaran los comportamientos limitantes.

Su ejemplo no es diferente de una declaración como: la hipotenusa$c$de un triángulo rectángulo con catetos$a$y$b$con$b \ll a$es dado por$c = a + \frac12 b^2/a$. La relación pitagórica$c^2 = a^2 + b^2$es válido para cualquier triángulo rectángulo, pero el caso especial$b \ll a$es útil para dilucidar cuánto se extiende la hipotenusa más allá del cateto más grande en el límite de triángulos rectángulos ultra afilados.

Del mismo modo, la ecuación$E = mc^2 + \frac12 mv^2$describe cuánto mayor es la energía total$E$de un objeto en movimiento en comparación con su energía en reposo$mc^2$, en el límite de la relación de la velocidad del objeto sobre la velocidad de la luz cayendo a cero. Esta diferencia de energía se conoce como energía cinética, y la ecuación límite deja en claro que en el límite de los movimientos lentos, las energías cinéticas en la teoría de Einstein son consistentes con las de la teoría de Newton.

No vi a nadie mencionar la razón práctica para usar una aproximación de energía. Es que en la mayoría de los problemas estarás calculando diferencias en energía. En ese caso, para velocidades pequeñas, no solo puede ir a la aproximación${m v^2\over 2}+m c^2$, pero si tampoco está convirtiendo masa en energía o viceversa, puede dejar caer el$m c^2$también ya que se restará. Ahora tienes Newton${m v^2\over 2}$. Esto es mucho más apropiado para la mayoría de los problemas terrenales, y puedes calcularlo más fácilmente sin el$m c^2$. Si desea calcular el cambio de energía al acelerar un objeto en 20 m/s e intenta usar$E^2=(m c^2)^2+(p c)^2$, entonces el cambio saldría en el lugar decimal 14 de$E$. Ahí es donde las aproximaciones y la eliminación de términos constantes se vuelven no solo útiles sino esenciales.

Las respuestas anteriores son todas buenas, pero quiero agregar algo más. Puede derivar la relación energía-momento al menos del principio, la acción es$A=-m\int \sqrt{1-v^2}{\rm d}t$. Lagrangiano es$\cal L$$=-m\sqrt{1-v^2}$, entonces puedes tomar impulso$p$de la derivada con respecto a$v$(este es el impulso real, no$mv$). Energía$H=E=pv-\cal L$, Tal como$E^2=p^2+m^2$usted obtiene.

Una respuesta directa:

A continuación, ¿por qué esto no funciona en todos los aspectos? seguramente una ecuación debería ser "universal" y aún debería funcionar con cualquier valor dado.

La ecuacion$E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2$ funciona para todos los valores.

Como han explicado otras respuestas, a bajas velocidades (o de manera equivalente, momentos bajos),$E = \frac{1}{2}mv^2 + mc^2$da aproximadamente el mismo resultado, y es un poco más fácil de calcular. Esa es la razón por la que lo usamos.

Los dos primeros términos distintos de cero de la expansión en serie de Taylor de$E$en

son

Los términos restantes distintos de cero incluirán$v^4$,$v^6$, etc, y son prácticamente irrelevantes para las velocidades diarias. El propósito de esta aproximación es mostrar cómo la cinética relativista se reduce a la cinética newtoniana a bajas velocidades.

Es importante tener en cuenta que no hay límite, sino que la diferencia se vuelve cada vez más pequeña.