Enfoque de Landau y Lifshitz (método del contorno) sobre las fórmulas de conexión WKB

I) L&L se refieren a un modelo linealizado donde el TISE

$$\begin{align} \hbar^2\psi^{\prime\prime}(x) +P^2(x) \psi(x)~=~&0,\cr P(x)~:=~ \sqrt{2m (E-V(x))}~=~& |P(x)| e^{i\theta(x)}, \end{align} \tag{1}$$

se convierte en la ecuación diferencial de Airy . Cerca de un punto de inflexión$x_0$, podemos aproximar el momento cuadrado

$$\begin{align} P^2(x)~\approx~& \alpha (x\!-\!x_0), \cr (P^2)^{\prime}(x)~\approx~&\alpha~=~2mF_0 ~\neq~0,\end{align} \tag{2}$$

con una función afín , donde$\alpha\in \mathbb{R}\backslash\{0\}$es una constante real distinta de cero. (En el ejemplo de L&L$\alpha < 0$es negativo).

II) Reproduzcamos primero el argumento de L&L. En la región clásicamente permitida$x<x_0$, L&L elige el impulso$P^{>}>0$positivo. (Los superíndices$>$y$<$se refieren a las regiones clásicamente permitidas y prohibidas, respectivamente). Por lo tanto, la función de onda WKB (47.2) se convierte en

$$\begin{align} \psi^{>}~\stackrel{(47.2)}{=}&~\frac{1}{\sqrt{P^{>}}}\sum_{\pm}C_{\pm} \exp\left(\pm \frac{i}{\hbar}\int_{x_0}^x \! P^{>}~\mathrm{d}x\right) \cr ~=~&\frac{1}{\sqrt{|P|}} \sum_{\pm}C_{\pm} \exp\left( \mp \frac{2i\sqrt{|\alpha|}}{3\hbar}\left(x_0-x \right)^{\frac{3}{2}}\right)\cr & \qquad\text{for}\qquad x<x_0.\end{align}\tag{3}$$

III) L&L continúa analíticamente la función de onda WKB (47.1) (que es válida en la región clásicamente prohibida) a lo largo de un semicírculo (superior/inferior) en el complejo$x$-avión

$$x-x_0~=~\rho e^{\pm i\phi} , \qquad \phi~\in~[0,\pi], \tag{47.4a}$$

para derivar las fórmulas de conexión WKB . L&L elige la variable de impulso

$$\begin{align} P^{<}~=~&\sqrt{|\alpha|(x-x_0)}\cr ~=~&\sqrt{|\alpha|}\rho^{\frac{1}{2}} e^{\pm\frac{ i\phi}{2}}, \qquad \rho~>~0,\end{align}\tag{4}$$

tal que comienza positivo

$$\left. P^{<}\right|_{\phi=0} ~=~|P|~>~0. \tag{5}$$

La continuación analítica de la función de onda WKB (47.1) se convierte entonces en

$$\begin{align} \psi^{<}~\stackrel{(47.1)}{=}&~\frac{C}{2\sqrt{P^{<}}} \exp\left( -\frac{1}{\hbar}\int_{x_0}^x \! P^{<}~\mathrm{d}x\right)\cr ~=~&\frac{C}{2\sqrt{|P|}} \exp\left( -\frac{2\sqrt{|\alpha|}\rho^{\frac{3}{2}}e^{\pm\frac{ i3\phi}{2}} }{3\hbar} \mp i\frac{\phi}{4}\right). \end{align}\tag{6}$$

Configurando$\phi=\pi$en la ec. (6), y comparando con la función de onda WKB (3), se deduce de la continuación analítica a lo largo del semicírculo (superior/inferior) que

$$\begin{align} C_2~\equiv~& C_-~=~\frac{C}{2}e^{-\frac{i\pi}{4}}, \tag{47.4b}\cr C_1~\equiv~& C_+~=~\frac{C}{2}e^{\frac{i\pi}{4}} , \tag{47.4c}\end{align}$$

respectivamente. Este es el principal argumento de L&L. (Volveremos a la cuestión de qué sucede con la otra rama en la Sección VII a continuación).

IV) Alternativamente, dado que las funciones de Airy tienen representaciones integrales de Fourier (cf., por ejemplo, mi respuesta de Math.SE aquí ), en su lugar, se puede usar el método de descenso más pronunciado para derivar expansiones asintóticas coincidentes en cada lado del punto de inflexión. Es interesante comparar este método con el argumento anterior de L&L.

Se puede demostrar que la función de onda tipo Airy

$$\psi(x) ~=~ \sqrt{\frac{|\alpha|}{\pi\hbar}}\int_{\mathbb{R}-i~{\rm sgn}(\alpha)~\varepsilon} \! \mathrm{d}p~ \exp\left(\frac{i}{\hbar}S(p,x)\right),\tag{7}$$ $$\begin{align} S(p,x)~:=~& px - \tilde{S}(p), \cr \tilde{S}(p)~:=~& p\left(x_0+\frac{p^2}{3\alpha}\right),\end{align} \tag{8}$$ $$\begin{align} S^{\prime}(p,x)~=~&x-\tilde{S}^{\prime}(p)\cr ~=~& x\!-\!x_0 - \frac{p^2}{\alpha}\cr ~\stackrel{(2)}{\approx}~& \frac{P^2(x)-p^2}{\alpha},\end{align} \tag{9}$$ $$-S^{\prime\prime}(p,x)~=~\tilde{S}^{\prime\prime}(p)~=~ \frac{2p}{\alpha},\tag{10}$$

cumple la TISE (1):

$$\begin{align} \hbar^2& \psi^{\prime\prime}(x) +P^2(x) \psi(x)\cr ~\stackrel{(7)}{=}~& \sqrt{\frac{|\alpha|}{\pi\hbar}} \int_{\mathbb{R}-i~{\rm sgn}(\alpha)~\varepsilon} \! \mathrm{d}p~\left(P^2(x)- p^2\right) \exp\left(\frac{i}{\hbar}S(p,x)\right)\cr ~\stackrel{(9)}{\approx}~& -i \hbar \alpha\sqrt{\frac{|\alpha|}{\pi\hbar}} \int_{\mathbb{R}-i~{\rm sgn}(\alpha)~\varepsilon} \! \mathrm{d}p~\frac{d}{dp} \exp\left(\frac{i}{\hbar}S(p,x)\right)\cr ~=~&0 \end{align}\tag{11}$$

para el contorno elegido en el complejo$p$-avión.

V) Hay 2 puntos críticos:

$$\begin{align} p_{\sigma} ~=~& \sigma~ {\rm sgn}(\alpha)~P , \cr S_{\sigma}~=~& \frac{2\sigma P^3 }{3|\alpha|} , \cr S^{\prime\prime}_{\sigma}~=~& -2\sigma |\alpha| P , \cr \sigma ~\in~&\{\pm 1\}.\end{align} \tag{12}$$

La contribución de descenso más empinada desde cada punto crítico proviene de una integral gaussiana :

$$\begin{align} I_{\sigma}~=~& \sqrt{\frac{|\alpha|}{\pi\hbar}} \sqrt{\frac{2\pi i\hbar}{S^{\prime\prime}_{\sigma} } } \exp\left(\frac{i S_{\sigma}}{\hbar}\right)\cr ~=~&\frac{1}{\sqrt{P}} \exp\left(\frac{2i\sigma P^3}{3\hbar |\alpha|} -\frac{i\sigma \pi}{4}\right)\cr ~=~& \frac{1}{\sqrt{|P|}} \exp\left(\frac{2i\sigma |P|^3e^{3i\theta}}{3\hbar |\alpha|} -i\left(\frac{\sigma \pi}{4}+\frac{\theta}{2}\right)\right) \end{align} \tag{13}$$

con dirección de descenso angular más empinada$-\frac{\sigma \pi}{4}-\frac{\theta}{2}$.

$\uparrow$Fig. 1. El complejo$p$-plano con 3 posibles contornos de integración${\cal C}_1$,${\cal C}_2$,${\cal C}_3$para$\alpha<0$. Las regiones sombreadas denotan sectores que decaen exponencialmente. (Si$\alpha>0$, es opuesto.) Dado que el integrando es una función entera en$p$, el$p$-las integrales solo dependen de la monodromía del contorno. (Figura tomada de la Ref. [W].)

VI) Ahora volvamos al ejemplo de L&L con$\alpha<0$.

Región clásicamente prohibida$x>x_0$: entonces$P=\pm i|P|$, con$\theta=\pm \frac{\pi}{2}$, dónde$\pm$corresponde a dos posibles opciones de signo diferentes. El contorno a lo largo de la real$p$-el eje se reproduce por el contorno de descenso más empinado correspondiente al punto crítico$p_{\mp 1}$:

$$\begin{align} \psi_{<}(x)~\sim~& I_{\mp 1}\cr ~=~& \frac{1}{\sqrt{|P|}} \exp\left(-\frac{2|P|^3}{3\hbar |\alpha|} \right). \end{align} \tag{14}$$

Región permitida clásicamente$x<x_0$: entonces$P=|P|>0$con$\theta=0$. El contorno a lo largo de la real$p$-el eje se reproduce por la suma de los dos contornos de descenso más empinados:

$$\begin{align} \psi_{>}(x)~\sim~& \sum_{\sigma\in\{\pm 1\}}I_{\sigma}\cr ~=~& \frac{1}{\sqrt{|P|}}\sum_{\sigma\in\{\pm 1\}} \exp\left(i\sigma\left(\frac{2|P|^3}{3\hbar |\alpha|} -\frac{ \pi}{4}\right)\right)\cr ~=~&\frac{2}{\sqrt{|P|}} \cos\left(\frac{2|P|^3}{3\hbar |\alpha|} -\frac{\pi}{4} \right)\cr ~=~& \frac{2}{\sqrt{|P|}} \sin\left(\frac{2|P|^3}{3\hbar |\alpha|} +\frac{\pi}{4} \right).\end{align} \tag{15}$$

Al comparar las ecs. (14) y (15), hemos derivado una fórmula de conexión. En detalle, comparando las contribuciones a los puntos críticos$p_{\mp 1}$, deducimos las ecuaciones de L&L. (47.4c) y (47.4b), respectivamente. Así que los dos métodos están de acuerdo.

VII) Las soluciones de crecimiento exponencial son físicamente posibles si la región clásicamente prohibida tiene una longitud finita, por ejemplo, en túneles cuánticos. Sin embargo, en el ejemplo de L&L, la región clásicamente prohibida no es compacta, por lo que deben descartarse las soluciones de crecimiento exponencial.

Queda por explicar por qué solo una de las 2 ramas oscilatorias en el lado clásico permitido se continúa analíticamente al lado clásico prohibido.

Por un lado, L&L argumenta que no se puede confiar en la rama WKB que crece exponencialmente durante el$\frac{3\pi}{2}$cambio de fase en el factor de Boltzmann porque se suprime momentáneamente de manera exponencial. Esto destaca el hecho de que las fórmulas de conexión son unidireccionales.

Por otro lado, desde la perspectiva del método de descenso más empinado en las Secciones IV-VI, se cruza una línea de Stokes en el complejo$x$-plano, de modo que los contornos de descenso más empinados recogen monodromía en el complejo$p$-plano, cf. Figura 1.

Para obtener más información, consulte también, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE relacionada aquí .

VIII) Finalmente, debemos mencionar que el$\frac{\pi}{2}$cambio de fase entre la onda entrante y saliente en el punto de inflexión en la ecuación. (15) corresponde a un índice de Maslov $|\mu|=1$, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Referencias:

• [LL] LD Landau y EM Lifshitz, QM, vol. 3, 2ª y 3ª ed., 1981;$\S47$&$\S b$.

• [W] E. Witten, Continuación analítica de la teoría de Chern-Simons, arXiv:1001.2933 ; pag. 23-29, 48-49. Una conferencia KITP de 2015 relacionada de Witten, A New Look At The Path Integral Of Quantum Mechanics, se puede encontrar en YouTube .