Uno a veces considera la continuación analítica de ciertas cantidades en física y las toma en serio. Más que los valores directos o reales, en realidad.
Por ejemplo, si utiliza el procedimiento de regularización , a veces parece un paso ad hoc.
Pregunta: En los casos en que es aplicable la continuación analítica, ¿sugiere esto que hay otra formulación de esa teoría, que conduce directamente a estos resultados?
Esa sería una teoría en la que la interpretación "modificada" de las cantidades matemáticas podría tomarse como punto de partida.
Por ejemplo, si define alguna cantidad fundamental de su teoría como una integral o una suma, y no converge en alguna parte, y realiza una continuación analítica para obtener algunos resultados valiosos. ¿Podría esto implicar que hay una formulación en la que ese valor surge naturalmente, es decir, una formulación en la que nunca existe este objeto de suma que crea problemas?
¿Podría esto implicar que hay una formulación en la que ese valor viene naturalmente...
Esta oración asume implícitamente que la continuación analítica es "antinatural". Pero la verdad es al revés: la continuación analítica es uno de los procedimientos matemáticos más naturales de la física. Por el contrario, son funciones -especialmente funciones de momento o energía- las que no admiten una continuación analítica que puede clasificarse como "antinatural", "incómoda", "hecha por el hombre", "artificial", si no "patológica". . En términos más generales, toda teoría propuesta que utilice funciones no analíticas o que no nos permita continuar observables hasta valores complejos es antinatural.
Si bien algunas de estas proclamaciones pueden parecer "filosóficas" y "subjetivas" y pueden generar controversias, todavía hay un punto general importante sobre la ciencia. La ciencia se trata de encontrar teorías que concuerden con las observaciones. Las teorías cuánticas de campos y la teoría de cuerdas lo hacen, y a menudo utilizan la continuación analítica en los cálculos. Así que esto es evidencia de que la continuación analítica es útil en la Naturaleza y, en este sentido, es natural. En el párrafo anterior, dije y quise decir que la continuación analítica también era natural en un sentido más general, menos empírico.
En QFT, hay muchos cálculos en los que las expresiones en el espacio-tiempo euclidiano, que se continúan analíticamente, en realidad se comportan mejor y están mejor definidas que las del espacio-tiempo de Minkowski. Así es como funcionan las matemáticas. Por ejemplo, la firma es en el espacio euclidiano y las bolas de longitud propia fija son compactas (en lugar de los hiperboloides que conocemos por la firma de Minkowski). La integral de trayectoria de Feynman tiene en el espacio euclidiano que es más fácilmente convergente (para la acción delimitado desde abajo) que el Minkowski . De hecho, la integral de trayectoria de Feynman puede definirse rigurosamente en la teoría de la medida de Lebesgue, pero solo en la firma euclidiana.
Uno también usa continuación analítica a una dimensión compleja , la llamada regularización dimensional, en QFTs. Esto puede verse como un mero truco matemático, pero es muy útil porque conserva algunas simetrías. Por la misma razón, la regularización en función zeta que nos permite calcular , es una herramienta muy poderosa en las teorías de campos conformes porque es "natural" en el sentido de que no invalida ninguna simetría (simetría conforme) y otras estructuras matemáticas subyacentes.
La continuación analítica de amplitudes de dispersión a valores complejos de momentos tiene polos y estos polos conocen exactamente la ubicación de los estados límite (energía de interacción negativa). Además, las matrices de densidad térmica son operadores de evolución con valores de tiempo complejos. La hoja del mundo de la teoría de cuerdas casi siempre se visualiza con la firma euclidiana porque la topología de las superficies de Riemann es bonita para la firma euclidiana y sería confuso, por decir lo menos, si la firma fuera minkowskiana. Los observables en el espacio de Minkowski siempre se pueden obtener continuando desde el espacio-tiempo euclidiano o la hoja del mundo hasta el físico de Minkowski.
Entonces, toda su pregunta se basa en una comprensión inválida de lo que es natural y lo que no lo es cuando se trata de la continuación analítica. El camino correcto es darle la vuelta a tus expectativas y aprender esta técnica que, como lo demuestra no solo la evidencia empírica, es importante para un análisis adecuado de la Naturaleza. Uno puede hacer QFT y teoría de cuerdas sin continuación analítica, o incluso sin números complejos, pero sería mucho más complicado y tendría que haber muchos pasos cuyo objetivo sería emular la continuación analítica (y los números complejos), de todos modos, sin usar las palabras correctas.
Cualquier función analítica se define en todas partes en su superficie de Riemann solo por sus valores en una vecindad arbitrariamente pequeña de un punto.
Por lo tanto, la expresión que debe ser "continuada analíticamente" solo especifica a qué función se refiere, pero tiene valores "directos y naturales" en todas partes de su superficie de Riemann. Excepto que no todos estos valores pueden calcularse con la misma receta que la utilizada para su definición. Las recetas válidas en diferentes regiones de la superficie de Riemann son propiedades de una misma función que se complementan entre sí, y todas ellas podrían usarse como su definición. Que uno los defina como una suma infinita (digamos) puede ser solo un punto de partida conveniente.
La continuación analítica es inevitable siempre que la superficie de Riemann tenga varias hojas. Esto ya sucede para funciones simples como la raíz cuadrada o el logaritmo. Pero también para la función Gamma no hay (hasta donde yo sé) una definición que cubra todo el dominio de la función Gamma.
resgh