Cálculo de la función de partición para un gas bosón libre monomodo mediante integrales de trayectoria

Question

Cálculo de la función de partición para un gas bosón libre monomodo mediante integrales de trayectoria

Física
integral de trayectoria
materia Condensada
función de partición
mecánica estadística

dependiente de la temperatura

Considerando un solo modo bosónico libre con hamiltoniano $H=\epsilon a^{\dagger}a$ , podemos usar estados coherentes (bosónicos) para escribir la función de partición correspondiente $\mathcal{Z}=\mathrm{tr} (e^{-\beta H})$ como:

Z = \int d (\bar{ψ}, ψ) {mi}^{- \bar{ψ} ψ} ⟨ ψ | {mi}^{- β H} | ψ ⟩,

$\begin{equation} \mathcal{Z}=\int d(\bar{\psi},\psi)e^{-\bar{\psi}\psi}\langle\psi|e^{-\beta H}|\psi\rangle, \end{equation}$ donde integramos sobre las variables complejas

\bar{ψ}

$\bar{\psi}$ y

ψ

$\psi$ . Para resolver esto usando una integral de trayectoria aplicamos el procedimiento usual, dividiendo el tiempo imaginario en

N

$N$ intervalos y posteriormente insertando resoluciones de identidad. Esto simplemente produce la expresión integral de trayectoria habitual (cf. eq. (4.27) en la "Teoría del campo de materia condensada" de A. Altland):

Z = \int \prod_{i} d ({\bar{ψ}}_{i}, ψ_{i}) {mi}^{\sum_{i} - {\bar{ψ}}_{i} ψ_{i} + {\bar{ψ}}_{i + 1} ψ_{i} - d ϵ {\bar{ψ}}_{i + 1} ψ_{i}},

$\begin{equation} \mathcal{Z}=\int \prod_i d(\bar{\psi}_i,\psi_i)e^{\sum_i-\bar{\psi}_i\psi_i + \bar{\psi}_{i+1}\psi_i-\delta\epsilon\bar{\psi}_{i+1}\psi_i}, \end{equation}$ dónde

δ \equiv β / N

$\delta\equiv \beta/N$ . Por lo general, uno tomaría el límite continuo en este punto, pero en su lugar me gustaría evaluar primero esta integral para grandes

N

$N$ , y luego tomar

N \to \infty

$N\rightarrow \infty$ (dado que la integral es cuadrática, esto debería estar bien). Siendo este un problema de tarea, hay una pista que dice:

1 + a + a^{2} + a^{3} + . . . = \frac{1}{1 - a},

$\begin{equation} 1+a+a^2+a^3+...=\frac{1}{1-a}, \end{equation}$ lo que parece indicar que la

Z

$\mathcal{Z}$ anterior debe evaluarse en cada segmento de tiempo por separado, lo que resulta en

Z = \sum_{norte} {mi}^{- β norte ϵ},

$\begin{equation} \mathcal{Z}=\sum_n e^{-\beta n\epsilon}, \end{equation}$ ya que sabemos por la mecánica estadística cuántica que un solo modo bosónico tiene función de partición

\frac{1}{1 - {mi}^{- β ϵ}} .

$\begin{equation} \frac{1}{1-e^{-\beta \epsilon}}. \end{equation}$ Al tratar de llevar a cabo este programa, he tratado de usar el Gaussiano complejo estándar, pero de ninguna manera parece obtener la serie mencionada en la sugerencia. Por lo tanto, mi pregunta es: ¿cómo evalúo $\mathcal Z$ arriba para grandes $N$ ?

Respuestas (2)

Cálculo de la función de partición para un gas bosón libre monomodo mediante integrales de trayectoria

higgsss · Answer 1

Para empezar, el resultado de la integral gaussiana compleja multidimensional es

I (A) := \int d (z_{1}, z_{1}^{*}) \dots d (z_{norte}, z_{norte}^{*}) Exp (- {\vec{z}}^{†} A \vec{z}) = det (A)^{- 1} .

$\begin{equation} I(A) := \int d(z_1, z_1^\ast) \cdots d(z_n, z_n^\ast)\, \exp\big(-\vec{z}^{\dagger} A \vec{z}\big) = \det(A)^{-1}. \end{equation}$ Aquí,

A

$A$ es un

n \times n

$n\times n$ matriz, y

\vec{z} = (z_{1}, \dots, z_{n})^{T}

$\vec{z} = (z_1, \ldots, z_n)^T$ . La medida de integración

d (z, z^{*})

$d(z, z^\ast)$ es definido por

d (z, z^{*}) := \frac{d R mi (z) d I metro (z)}{π} .

$\begin{equation} d(z, z^\ast) := \frac{d\mathrm{Re}(z)\, d\mathrm{Im}(z)}{\pi}. \end{equation}$

Entonces, la función de partición de un solo modo bosónico libre con $H = \epsilon \,a^\dagger a$ es simple

Z = \underset{norte \to \infty}{límite} I ({METRO}_{norte}) = \underset{norte \to \infty}{límite} det ({METRO}_{norte})^{- 1}

$\begin{equation} \mathcal{Z} = \lim_{n \to \infty} I(M_n) = \lim_{n \to \infty}\det(M_n)^{-1} \end{equation}$ con

{METRO}_{norte} := (\begin{matrix} 1 & - 1 + X_{norte} \\ - 1 + X_{norte} & 1 \\ - 1 + X_{norte} & 1 \\ ⋱ & ⋱ \\ - 1 + X_{norte} & 1 \end{matrix}),

$\begin{equation} M_n := \begin{pmatrix}1&&&&-1+x_n\\ -1+x_n&1&&&\\& -1+x_n&1&&\\ &&\ddots&\ddots&\\ &&&-1+x_n&1\end{pmatrix}, \end{equation}$ dónde

x_{n} := β ϵ / n

$x_n := \beta\epsilon/n$ . De la fórmula del determinante

det (A) = ε_{j_{1} \dots j_{norte}} A_{1 j_{1}} A_{2 j_{2}} \dots A_{norte j_{norte}},

$\begin{equation} \det(A) = \varepsilon_{j_1 \ldots j_n} A_{1j_1}A_{2j_2} \ldots A_{nj_n}, \end{equation}$ Es fácil ver eso

det (M_{n}) = 1 - (1 - x_{n})^{n}

$\det(M_n) = 1 - (1-x_n)^n$ . Entonces nosotros tenemos

\underset{norte \to \infty}{límite} (1 - X_{norte})^{norte} = {(1 - \frac{β ϵ}{norte})}^{norte} = {mi}^{- β ϵ},

$\begin{equation} \lim_{n\to \infty} (1 - x_n)^n = \left(1-\frac{\beta\epsilon}{n}\right)^n = e^{-\beta\epsilon}, \end{equation}$ de lo que se deduce que

Z = \underset{norte \to \infty}{límite} det ({METRO}_{norte})^{- 1} = (1 - {mi}^{- β ϵ})^{- 1} .

$\begin{equation} \mathcal{Z} = \lim_{n \to \infty}\det(M_n)^{-1} = (1 - e^{-\beta\epsilon})^{-1}. \end{equation}$

nutria helada · Answer 2

¿Necesita usar los estados coherentes para calcular la función de partición? Puede que lo estés pensando un poco.

Una función de partición es la suma de los factores de Boltzmann ( $e^{-\beta E}$ ) sobre el espacio de Fock. Su espacio Fock está definido por los números de ocupación: $|0\rangle$ , $|1\rangle$ , etc. Para ti, $\hat H|n\rangle = n\epsilon|n\rangle$ . Por lo tanto, debe realizar la suma de la siguiente manera:

$\mathcal{Z} = \sum_n \langle n|e^{-\beta \hat H}|n\rangle = \sum_n e^{-\beta n\epsilon}$ ,

que es exactamente la fórmula de la pista.

Si insiste en usar QFT, comience escribiendo la acción para su sistema usando las frecuencias de Matsubara:

$S[\bar\psi,\psi] = \sum_n \bar\psi_n\left[-i\omega_n + \epsilon\right]\psi_n$

Su función de partición es

$\mathcal{Z} = \int D(\bar\psi,\psi) e^{-S[\bar\psi,\psi]}$ .

De su pregunta, asumo que tiene el libro de Altland, así que para continuar vea la ecuación (4.33)

Gracias por responder. Sin embargo, la idea detrás de esta pregunta es alejarse de los métodos convencionales que mencionó y, en cambio, tomar esta ruta inusual.

Cálculo de la función de partición para un gas bosón libre monomodo mediante integrales de trayectoria

dependiente de la temperatura

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higgsss

nutria helada

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