Función de partición e integral de camino de estado coherente

He estado trabajando en la derivación de la función de partición expresada como una integral de trayectoria en términos de estados coherentes, siguiendo los libros de teoría de campo de materia condensada de muchos cuerpos de Altland & Simons y Piers Coleman, y aunque puedo seguir los argumentos matemáticos, Estoy luchando con algunos de los conceptos involucrados. Apreciaría mucho alguna ayuda con varios puntos, que no he podido aclarar a mi entera satisfacción, a pesar de consultar muchos otros libros de texto. Me disculpo de antemano si estas preguntas parecen demasiado básicas.

Pregunta: Comenzando desde el primer paso de la derivación, donde la función de partición se expresa como la traza del operador Exp ⁡ [ − β ( H ^ − m norte ^ ) ] , primero en términos de un conjunto completo de estados del espacio de Fock y luego de estados coherentes, ¿es necesario elegir la base de modo que el hamiltoniano sea diagonal en esta base? Sé que la traza, y por lo tanto la función de partición, es la suma de los elementos de la matriz diagonal, pero ¿es necesario que la matriz sea diagonal para que se evalúe y tenga sentido?

Actualmente estoy trabajando en las matemáticas de los propagadores de Herman-Kluk y las representaciones de valores iniciales para la propagación de estados coherentes en la mecánica semiclásica. NO son básicos en absoluto. Hay una serie de malentendidos y artículos erróneos que empeoran aún más las cosas. ¡Les deseo buena suerte!
¿Esta pregunta se reduce a preguntar si la traza que ingresa a la función de partición es independiente de la base? Si es así, entonces sí, es independiente de la base. De lo contrario, la base de estado coherente no funcionaría para la traza, ya que ningún hamiltoniano físico es diagonal en esta base.

Respuestas (2)

Si bien la traza es invariable bajo una transformación a otra base, debe tener en cuenta aquí que la base de estado coherente no es una base ortogonal y está demasiado completa. Podemos evaluar la traza de un operador A insertando operadores de identidad delante y después del operador y luego usando la resolución de identidad en términos de los vectores base coherentes. Entonces necesitamos usar que la resolución de identidad ahora se da como:

I = 1 π ∫ d 2 α | α ⟩ ⟨ α |

Entonces, hay un factor adicional de 1 π por exceso de exhaustividad. Así podemos escribir:

Tr ⁡ A = ∑ norte ⟨ norte | A | norte ⟩ = 1 π 2 ∑ norte ∫ d 2 α d 2 β ⟨ norte | α ⟩ ⟨ α | A | β ⟩ ⟨ β | norte ⟩

Si ahora suma sobre la base (completa, ortonormal) | norte ⟩ , obtienes usando la completitud en esta base:

Tr ⁡ A = 1 π 2 ∫ d 2 α d 2 β ⟨ β | α ⟩ ⟨ α | A | β ⟩

Luego puede evaluar esto usando el hecho de que la superposición entre dos estados básicos coherentes viene dada por:

⟨ β | α ⟩ = Exp ⁡ [ − 1 2 ( | α | 2 + | β | 2 − 2 β ∗ α ) ]

No, no necesita trabajar en la base donde el hamiltoniano es diagonal. Es un hecho del álgebra lineal que la suma de los elementos diagonales de una matriz es la misma sin importar en qué base se encuentre, por lo que puede evaluar fácilmente la traza en cualquier base que sea conveniente.

Eso tiene sentido. Sabía que los estados coherentes en la mecánica cuántica no son estados propios del hamiltoniano, así que no vi por qué deberían serlo en la teoría cuántica de campos. Sin embargo, una declaración del libro de texto sobre los estados coherentes me desconcierta: "La razón para enfatizar el orden normal es que tal operador puede diagonalizarse fácilmente por medio de estados coherentes". ¿Cómo debe interpretarse esto?
@dgwp Los operadores no necesariamente conmutan, por lo que en el formalismo hamiltoniano del operador, el orden de los términos es importante. Pero en la integral de trayectoria de estado coherente, los campos son solo números c y, por lo tanto, conmutan. Entonces, si simplemente reemplazara ingenuamente todos los operadores con sus correspondientes campos de estado coherente, perdería información importante sobre el orden de los operadores. La forma en que preserva la información contenida en el orden de los operadores es requiriendo que los operadores estén ordenados normalmente antes de reemplazarlos con campos de estado coherentes.
@dgwp Entonces, por ejemplo, el término del operador a ^ † a ^ a ^ † a ^ correspondería a los términos de estado coherente a ¯ a ¯ a a + a ¯ a - el ordenamiento normal daría como resultado un cambio en el término de masa/potencial químico.
Gracias, pero eso no era realmente lo que quería saber. Estaba realmente interesado en cómo un operador puede ser diagonalizado por estados coherentes. Lo siento, debí ser más claro.
@dgwp Bueno, un estado coherente ket es un estado propio del operador de aniquilación, y un estado coherente bra es un estado propio (izquierda) del operador de creación. Entonces, si toma un operador de orden normal compuesto por operadores de creación y aniquilación (en el formalismo de la segunda cuantización, casi todos los operadores en un hamiltoniano tienen esta forma) y lo intercala entre estados coherentes, entonces todo el operador de creación y aniquilación se pueden reemplazar por sus valores propios, que son mucho más convenientes de tratar porque son solo números c.
@dgwp Entonces, los estados coherentes diagonalizan prácticamente cualquier segundo operador cuantificado. Esa es otra forma de ver por qué los operadores deben tener un orden normal, de modo que todos los operadores de aniquilación actúen hacia la derecha en sus eigenkets, y todos los operadores de creación actúen hacia la izquierda en sus eigenbras.
@dgwp Están siendo un poco descuidados con su lenguaje: los estados coherentes no son estados propios del hamiltoniano, pero son estados propios del a 'arena a † que forman el hamiltoniano, por lo que es extremadamente fácil evaluar cada término en los elementos de la matriz del hamiltoniano entre estados coherentes.
@dgwp Básicamente, la ventaja de la formulación de estado coherente es que le permite convertir un hamiltoniano, que es molesto de manejar porque tiene que realizar un seguimiento cuidadoso del orden del operador, en una integral de ruta lagrangiana, que es mucho más fácil de tratar porque los campos son solo números c y su orden no importa.
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