¿De dónde vienen las potencias negativas de fπfπf_\pi en las amplitudes hadrónicas?

¿Cómo calcular las interacciones piónicas en general? Dado que los piones son (pseudo) bosones de piedra de oro, el procedimiento es el siguiente: a partir del lagrangiano que contiene campos de quarks$q(x)$(y supongamos que ha integrado el sector de gluones), necesita extraer los grados de libertad de los piones, a saber

$$q(x) \equiv U\tilde{q}(x),$$ dónde $$U = e^{i\gamma_{5}\frac{\pi_{a}t_{a}}{f_{\pi}}}$$ Ahí solo necesitas sustituir VEV distinto de cero $\langle |\bar{\tilde{q}}\tilde{q} |\rangle$.

De la imagen descrita se deduce que el objeto básico de la teoría del campo efectivo de piones es$U$, que depende del argumento$\frac{\pi}{f_{\pi}}$.

En general, el lagrangiano efectivo relevante para piones libres que se necesita para responder a su pregunta tiene la forma

$$\tag 1 S = \int d^{4}x\left(\frac{f_{\pi}^{2}}{4}\text{Tr}\left[ \partial_{\mu}U\partial^{\mu}U^{+}\right] - f_{\pi}^{2}m_{\pi}^{2}\text{Tr}\left[ U^{\dagger} + U - 2\right] + ...\right) + N_{c}\Gamma_{WZ},$$ Aquí $$\Gamma_{WZ} \equiv \frac{i}{240 \pi^{2}}\int d^{5}x\epsilon^{ijklm}\text{Tr}\left[U\partial_{i}U^{-1}U\partial_{j}U^{-1}U\partial_{k}U^{-1}U\partial_{l}U^{-1}U\partial_{m}U^{-1}\right]$$ es el término de Wess-Zumino, que captura toda la información sobre anomalías de la teoría subyacente, y los puntos representan términos derivados superiores y términos mixtos.

Nótese la presencia de$f_{\pi}^{2}$en el primer término de$(1)$(se necesita para la forma canónica del término cinético de los piones) y una ausencia de tal cantidad en el término de Wess-Zumino (ya que en realidad es solo el número).

La breve respuesta formal a su pregunta es la siguiente. Para describir los procesos mencionados -$\pi^{+} \to l^{+} \nu_{l}, \pi^{0} \to ll^{+}, \pi^{0} \to 2\gamma$- necesitamos alargar las derivadas en$(1)$. Resulta que los dos primeros procesos están mediados por el término cinético en la acción de la teoría del campo efectivo quiral.$(1)$, que tiene$f_{\pi}^{2}$factor en el frente, mientras que la contribución general en el proceso$\pi \to \gamma\gamma$está formado por el término de Wess-Zumino, que no tiene ningún factor dimensional delante de él. Las amplitudes de los dos primeros procesos son proporcionales a$f_{\pi}$, mientras que para el segundo es proporcional a$f_{\pi}^{-1}$.

Mi afirmación de que después de medir y agregar la parte lepton, dicha acción contiene información sobre los procesos.$\pi \to \mu \bar{\nu}_{\mu}$y$\pi \to \gamma \gamma$.

Al medir los primeros términos de$(1)$, simplemente modificamos las derivadas parciales$\partial_{\mu}$a

$$\partial_{\mu}U \to \partial_{\mu} - iR_{\mu}U + iUL_{\mu},$$ dónde $$L \equiv g_{2}\frac{W_{a}\tau_{a}}{2} + g_{1}W^{0}\begin{pmatrix} \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & \frac{1}{6}\end{pmatrix}, \quad R \equiv g_{1}W^{0}\begin{pmatrix}\frac{2}{3} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$$ (en general, $g_{i}$son matrices de constantes (elementos de matriz CKM)).

Entonces podemos extraer$\pi^{\pm}W^{\mp}$vértice del término cinético de$(1)$(aquí$W^{\pm} \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}(W_{1} \mp iW_{2})$). Dado que, como he escrito anteriormente, los campos de piones como la fase de piedra dorada siempre están en combinación$\frac{\pi}{f_{\pi}}$y teniendo en cuenta que hay$f_{\pi}^{2}$en el frente de ella, tenemos que$\pi W$término es proporcional a$f_{\pi}$.

A continuación, medir el término Wess-Zumino es más difícil (ver una respuesta aquí ). Pero ahora solo hay una cosa importante: el grado de$f_{\pi}$, por lo que inmediatamente podemos dar el resultado: la parte del término WZ calibrado que contiene un campo de piones es inversamente proporcional a$f_{\pi}$.

La segunda ecuación que ha escrito proviene de la coincidencia de anomalías de la anomalía mixta con el electromagnetismo. En la UV, la anomalía proviene del bucle triangular con quarks en el interior. Sin embargo, en el IR todos los quarks están confinados y solo tienes piones muy por debajo$\Lambda_{QCD}$. Aún así, debe poder reproducir la anomalía mixta con los piones. Dado que bajo la transformación quiral con parámetro$\alpha$en un fondo de fotones la acción cambia por

$$\propto \alpha \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}\,,$$ la accion que en el IR que daria eso es $$\propto \frac{\pi^0}{f_\pi} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}$$ De hecho, el $\pi^0$es el bosón de Goldstone de la simetría quiral rota espontáneamente que actúa de forma no lineal sobre $\pi^0$ $$\pi\rightarrow \pi^0+ f_\pi \alpha.$$ Esta última transformación se deriva de su ecuación inicial que implica $$J_\mu^5 \propto f_\pi \partial_\mu\pi^0+\ldots$$ como se puede comprobar a partir del término cinético normalizado canónicamente para $\pi^0$utilizando el truco estándar para calcular la corriente de Noether (es decir, promoviendo el parámetro $\alpha$de la transformación quiral a una función dependiente del espacio-tiempo).

Como puede ver, es la transformación del bosón de Goldstone y la coincidencia de anomalías lo que soluciona el problema.$1/f_\pi$comportamiento en el lagrangiano, y por lo tanto en la amplitud para$\pi^0\rightarrow \gamma\gamma$.