Representación de Spinor y transformación de Lorentz en Peskin & Schroeder

Soy novato en teoría de grupos. En QFT P.42 (3.29) de Peskin & Schroeder dice que, dado que tenemos

(3.29) Λ 1 2 − 1 γ m Λ 1 2   =   Λ     v m γ v ,
podemos decir eso " γ Las matrices son invariantes bajo rotaciones simultáneas de sus índices vectoriales y de espinor (al igual que las σ bajo rotaciones espaciales)." En otras palabras, "podemos tomar el vector índice m en γ m en serio", y punto γ m en ∂ m para formar un operador diferencial invariante de Lorentz.

  1. No entiendo la frase que " γ Las matrices son invariantes bajo rotaciones simultáneas de sus índices vectoriales y de espinor (al igual que las σ bajo rotaciones espaciales)." Parece que hay dos cosas diferentes, una está relacionada con la representación de espín y la otra está relacionada con la transformación de Lorentz.

  2. ¿Qué significa "podemos tomar el índice vectorial m en γ m en serio", quiere decir?

  3. ¿Cuál es la diferencia entre los índices de espín y los índices de espacio-tiempo?

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/28505/2451 y enlaces allí.

Respuestas (1)

Como probablemente sepa, existen diferentes representaciones irreducibles de los diferentes grupos de simetría que se obtienen en la teoría cuántica relativista de campos. Aquí estamos tratando con la simetría de Lorentz (parte de la simetría de Poincaré).

Una representación, la representación de la mitad del espín, está asociada con los fermiones como se encuentra en la ecuación de Dirac. Los índices de estas representaciones son los índices de espín, como lo indican las filas y columnas de las matrices de Dirac. En esta representación, las transformaciones de Lorentz están representadas por transformaciones de espín.

Otra representación, la representación de espín uno, está asociada con campos vectoriales, como los bosones de norma. También es la representación de los vectores de coordenadas. Los índices en este caso son los índices de espacio-tiempo que generalmente se denotan con alguna letra griega como m . En esta representación las transformaciones de Lorentz transforman los índices espacio-temporales (rotaciones y impulsos).

Uno puede combinar un par de cantidades de medio espín en un por qué actúan como cantidades de espín uno. (Esto es parte de un proceso más general mediante el cual los productos tensoriales de representaciones irreducibles de un grupo de simetría se convierten en sumas directas de diferentes representaciones irreducibles de ese grupo de simetría). puede actuar como una sola cantidad de espín uno, transformándose como un vector de espacio-tiempo, siempre que las dos cantidades se combinen de una manera particular. Resulta que las matrices de Dirac proporcionan la forma correcta de combinar dos cantidades de espín medio para que se transformen en una sola cantidad de espín uno. La ecuación (3.29) demuestra esta propiedad.

Espero que esto aborde todas tus preguntas.

"Resulta que las matrices de Dirac proporcionan la forma correcta de combinar dos cantidades de espín medio para que se transformen en una sola cantidad de espín uno". No estoy seguro de qué se supone que significa eso. ecuación 3.29 demuestra que la transformación de las matrices como operadores en el espacio espinoral de Dirac es la misma que sus transformaciones como vectores de la representación estándar de espín-1.
Esto significa que ψ ¯ γ m ψ se transforma como un vector, mientras que ψ ¯ y ψ transformarse en espinores. Tú lo sabes.
Sí, lo sabía, pero no me di cuenta de lo que querías decir . Gracias por la aclaración.
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