Espacios vectoriales para las representaciones irreductibles del Grupo Lorentz

I) Teoría de la representación de la doble cubierta$SL(2,\mathbb{C})$de lo restringido$^1$grupo lorentz$SO^+(1,3;\mathbb{R})$es un tema bastante amplio cubierto en muchos libros de texto, véase, por ejemplo, Ref. 1 para más información.

Una representación irreductible$^2$

$$(j_L,j_R)~=~j_L\otimes_{\mathbb{C}} j_R, \qquad j_L, j_R~\in~ \frac{1}{2}\mathbb{N}_0,\tag{1}$$

es un producto tensorial de$V=V_L\otimes_{\mathbb{C}} V_R$de dos espacios vectoriales complejos$V_L$y$V_R$, de dimensión compleja$2j_L+1$y$2j_R+1$, respectivamente. El producto tensorial$V$es nuevamente un espacio vectorial complejo y tiene una dimensión compleja$(2j_L+1)(2j_R+1)$. Ver también esta publicación de Phys.SE.

Ejemplos:

1. $(j_L,j_R)=(0,0)$. Esta es la representación trivial/singlete . Entonces el espacio vectorial es$V\cong\mathbb{C}$. Nótese que la representación trivial$(0,0)$es la identidad multiplicativa del producto tensorial$\otimes_{\mathbb{C}}$, es decir

$$\forall V:~~(0,0)\otimes_{\mathbb{C}}V~\cong~ V~\cong~ V\otimes_{\mathbb{C}}(0,0).\tag{2}$$

2. $(j_L,j_R)=(\frac{1}{2},0)$. Esto se conoce como la representación de Weyl-spinor para zurdos. Entonces el espacio vectorial es$V\cong\mathbb{C}^2$. Es la representación fundamental/definitoria de$SL(2,\mathbb{C})$.

3. $(j_L,j_R)=(0,\frac{1}{2})$. Esto se conoce como la representación de Weyl-spinor de la mano derecha. Es la representación conjugada compleja de la representación de Weyl-Spinor para zurdos.

4. $(j_L,j_R)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$. Esto es isomorfo a la representación vectorial del grupo de Lorentz.

5. La representación de Dirac-spinor $(\frac{1}{2},0) \oplus (0,\frac{1}{2})$es una suma directa de la representación de Weyl-spinor izquierda y derecha.

Una representación irreducible (1) se puede escribir con la ayuda del producto tensorial simétrico $\odot$de la representación de Weyl-spinor para zurdos y para diestros

$$(j_L,j_R)~=~(\frac{1}{2},0)^{\odot 2j_L} \otimes (0,\frac{1}{2})^{\odot 2j_R}$$ $$~:=~\underbrace{\left\{(\frac{1}{2},0)\odot\ldots\odot(\frac{1}{2},0)\right\}}_{2j_L\text{ symmetrized factors}} \otimes \underbrace{\left\{(0,\frac{1}{2})\odot\ldots\odot(0,\frac{1}{2})\right\}}_{2j_R\text{ symmetrized factors}} .\tag{3}$$

Aquí$\otimes$denota el producto tensorial estándar (no simetrizado) .

II) Complejización. El grupo restringido de Lorentz$SO^+(1,3;\mathbb{R})$es obviamente un subgrupo de los complejos$^2$grupo lorentz$SO(1,3;\mathbb{C})$. Se puede mostrar que la doble cobertura del complejo grupo de Lorentz$SO(1,3;\mathbb{C})$es isomorfo al grupo de productos directo o cartesiano

$$G~=~SL(2,\mathbb{C})_L\times SL(2,\mathbb{C})_R,\tag{4}$$

cf. por ejemplo, ref. 1 y esta publicación de Phys.SE.

Más detalladamente, la representación irreducible (1) para$SL(2,\mathbb{C})$eleva a una representación irreductible

$$\rho~=~\rho_L\otimes \rho_R:G\to GL(V,\mathbb{C})\tag{5}$$

para el producto Lie grupo (4) dado como

$$\rho(g_L,g_R)(\sum_iv^i_L\otimes v^i_R)~=~\sum_i\rho_L(g_L)v^i_L\otimes\rho_R(g_R)v^i_R ,\tag{6}$$

donde ambos

$$\rho_{L/R}:SL(2,\mathbb{C})\to GL(V_{L/R},\mathbb{C})\tag{7}$$

son representaciones irreductibles de$SL(2,\mathbb{C})$de dimensiones complejas$2j_{L/R}+1$.

Referencias:

1. IL Buchbinder y SM Kuzenko, Ideas y métodos de supersimetría y supergravedad: o un paseo por el superespacio, 1998; Capítulo 1.

--

$^1$Consideremos aquí, por simplicidad, el grupo restringido de Lorentz $SO^+(1,3;\mathbb{R})$en lugar del grupo de Lorentz $O(1,3;\mathbb{R})$. Para permitir representaciones de espinores, necesitamos ir a la doble cubierta$SL(2,\mathbb{C})$.

$^2$Podemos suponer que una representación sobre un espacio vectorial real se complejiza a un espacio vectorial complejo.

$^3$Resulta que las teorías físicas relativistas a menudo tienen propiedades analíticas complejas pertinentes. Véase también este Phys.SE relacionado.

---

(A)

(0,0) actúa sobre un espacio trivial$\mathbb{C}.$

---

(B)

$(\frac{1}{2},0)$actúa sobre un espacio vectorial que es igual a un espacio de espín$( \alpha|\uparrow \rangle +\beta | \downarrow\rangle)$, ignorando el significado de girar hacia arriba y hacia abajo ahora. Este espacio es solo$\mathbb{C}^2$hasta una restricción de normalización$|\alpha|^2+|\beta|^2=1.$

---

(C)

$(0,\frac{1}{2})$actúa sobre un espacio vectorial, que tiene la misma estructura que$(\frac{1}{2},0)$'s espacio, pero puede tener un significado diferente, lo escribo como$( \gamma|\Uparrow \rangle +\delta | \Downarrow\rangle).$

---

(D)

$(\frac{1}{2},0) \oplus (0,\frac{1}{2})$actúa sobre$(\alpha|\uparrow \rangle +\beta | \downarrow\rangle) \oplus (\gamma|\Uparrow\rangle +\delta | \Downarrow\rangle)=( \alpha|\uparrow\rangle +\beta |\downarrow\rangle + \gamma|\Uparrow\rangle +\delta | \Downarrow\rangle).$

---

(MI)

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$actúa sobre$(\alpha|\uparrow\rangle +\beta | \downarrow\rangle)\otimes (\gamma|\Uparrow\rangle +\delta | \Downarrow\rangle )=(a|A\rangle + b|B\rangle +c|C\rangle +d|D\rangle).$

$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$y$|\gamma|^2+|\delta|^2=1$puede no sostenerse, se convierte en una expresión para$a \ b \ c \ d.$

---

(F)

base infinita, agregando impulso extra a (B) por ejemplo:

$(\alpha_1|\uparrow,p_1\rangle +\beta_1 | \downarrow,p_1\rangle)\oplus( \alpha_2|\uparrow,p_2\rangle +\beta_2 | \downarrow,p_2\rangle)\oplus( \alpha_3|\uparrow,p_3 \rangle +\beta_3 | \downarrow,p_3\rangle)\oplus...$

estoy usando$\oplus$, ya que$\langle s_1,p_i|s_2,p_j\rangle =\delta_{ij} \langle s_1 |s_2\rangle .$

Por lo tanto el espacio es:

$$(\sum_{s=1,2} \sum_{p} a_{s,p} |s,p\rangle)$$ con restricción de normalización$\sum_{s=1,2} \sum_{ p} |a_{s,p}|^2=1.$

Del mismo modo, puede agregar un impulso adicional a (A) (C) (D) (E) para realizar sus versiones infinitas.

para la versión infinita de (A) , ese espacio vectorial es solo$\{ |p\rangle \}$sí mismo.