Base de estado coherente del espacio de Fock de partículas (relativistas)

Para una partícula bosónica escalar neutra de masa$m$, considero un espacio de Fock con base ortonormal de estados propios de momentos

$$\begin{equation}\label{Fock-p-states} \left|p_1p_2\cdots p_n\right\rangle=\frac{1}{n!}\sum_\sigma\left|p_{\sigma(1)}\right\rangle\otimes\left|p_{\sigma(2)}\right\rangle\otimes \cdots\otimes\left|p_{\sigma(n)}\right\rangle\,, \end{equation}$$ con un número definido de partículas que va de 1 a$\infty$, junto con el estado de vacío$|0\rangle$; la suma es sobre todas las permutaciones$\sigma$de las partículas La normalización debe ser de la forma$\langle p'|p\rangle=2E\delta(\vec{p}-\vec{p}')$, dónde$E=\sqrt{m^2+\vec{p}^2}$, para$\langle p'|p\rangle$ser invariante de Lorentz.

Defino el operador de creación.$\hat{a}^\dagger(p)$como

$$\begin{equation*} \hat{a}^\dagger(p)|p_1p_2\cdots p_n\rangle=\sqrt{n+1}|p_1p_2\cdots p_np\rangle\,, \end{equation*}$$ y un estado coherente$|a\rangle$como un estado propio del operador de aniquilación$\hat{a}(p)$con valor propio$a(p)$para cada posible$p$: $$\begin{equation*} \hat{a}(p)|a\rangle=a(p)|a\rangle\:\:\:\forall p\,. \end{equation*}$$ El conjunto$\{|a\rangle\}$de todos los estados coherentes se construye así a través del funcional ($\langle 0|a\rangle\equiv a_0$se fija por normalización) $$\begin{equation*} a(p)\mapsto|a\rangle=a_0|0\rangle +\frac{a_0}{\sqrt{n!}}\sum_{n=1}^\infty\int\!\!\bar{d}^3\!p_1\cdots\bar{d}^3\!p_n a(p_1)\cdots a(p_n)|p_1\cdots p_n\rangle\,,\hspace{5pt} \int\!\!\bar{d}^3\!p\,|a(p)|^2<\infty\,, \end{equation*}$$ con un estado coherente para cada elemento del conjunto$A$de todas las funciones complejas integrables de módulo cuadrático$a(p)$; y $$\begin{equation}\label{square-integrable} \langle b|a\rangle=b^*_0a_0\exp\!\int\!\!\bar{d}^3\!p\,b^*(p)a(p)\,. \end{equation}$$ Las integraciones se realizan con el elemento de momento invariante de Lorentz $$\begin{equation*} \bar{d}^3\!p_i\equiv\frac{d^3\!p_i}{2\sqrt{\vec p_i^2+m^2}} =\frac{d^3\!p_i}{2E_i}\,. \end{equation*}$$

Ahora bien, la pregunta es si$\{|a\rangle\}$es una base, una base sobrecompleta del espacio de Fock; más precisamente, si existe una definición adecuada de la medida$\mathcal{D}a$de una función compleja módulo-cuadrado-integrable$a(p)$dando una integral funcional

$$\begin{equation}\label{identity-alpha} \int_A\!\!\mathcal{D}a|a\rangle\langle a|=\hat{1}\,, \end{equation}$$ con$|a\rangle$normalizado a$1$, es decir,$|a_0|^2\exp\int\!\!\bar{d}^3\!p\,|a(p)|^2=1$. En la base de momentos, esto se traduce en $$\begin{equation}\label{identity-alpha-p} \delta_{\!mn}\sum_\sigma\prod_i2E_i\delta(\vec{p}_i-\vec{p}'_{\sigma(i)}) =\int\!\!\mathcal{D}a\,e^{-\int\!\bar{d}^3\!p\,|a(p)|^2}a(p_1)\cdots a(p_n)a^*(p'_1)\cdots a^*(p'_m)\,; \end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{identity-alpha-0} 1=\int\!\!\mathcal{D}a\,e^{-\int\!\bar{d}^3\!p\,|a(p)|^2}\,,\:\:m=n=0\,. \end{equation}$$