¿Por qué el campo eléctrico es Ei=EiEi=EiE^i = E_i en lugar de Ei=−EiEi=−EiE^i = - E_i?

El campo eléctrico no es un vector de cuatro. Son solo tres vectores que poseen componentes a lo largo de tres dimensiones espaciales. Su transformación a una forma se define por una$3\times 3$matriz identidad (métrica euclidiana).

$$E^i = \delta^{ia} E_{a} = E_i.$$ También son componentes del tensor de campo electromagnético. Aquí$E^i$representa el$i^{th}$componente del vector de campo eléctrico es el mismo que el$-c F^{0i}$th término del tensor de campo electromagnético.

Por que es$E^i = E_i$en lugar de$E^i = - E_i$?

La razón fundamental sería que los campos eléctricos y magnéticos,$E$y$B$ no forman cuatro vectores . Más bien son vectores tridimensionales sin un cuarto componente como se explica aquí . La transformación entre co- y contraformas es transformación de identidad. Esto se debe a la diferente naturaleza vectorial de los respectivos campos. El campo eléctrico es un vector polar (o vector verdadero) porque cambia de signo si se invierten las coordenadas,$\mathbf{r} \rightarrow \mathbf{-r}$. Por el contrario, el campo magnético dado por

$$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{1}{c} \int \dfrac{(\mathbf{r}-\mathbf{r'})\times \mathbf{J}(\mathbf{r})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|^3} \text dV'$$

permanece sin cambios frente a la inversión de coordenadas ya que ambos$(r - r')$y densidad de corriente$J(r)$cambio de signo. El campo magnético es un pseudo-vector (o vector axial).

---

Aquí se muestra un cálculo detallado de cómo resulta ser el mismo en la métrica de espacio-tiempo de Minkowski, independientemente de su forma.

Los signos de las componentes del tensor electromagnético$F^{\mu \nu}$y$F_{\mu \nu}$dependen de la convención métrica. Sin embargo, el tensor mixto$F^\mu{}_\nu$es independiente de tal elección. Considerando$c = 1$, tenemos

$$F^\mu{}_\nu=\left(\begin{array}{cccc}0&E_x&E_y&E_z\\E_x&0&B_z&-B_y\\E_y&-B_z&0&B_x\\E_z&B_y&-B_x&0\end{array}\right)$$

Aquí$\mu,\nu~\in~\{0,1,2,3\}$y$i~\in~\{1,2,3\}$.

Definición$\eta_{\mu \nu} = \text{diag}(-1,+1,+1,+1) = \eta^{\mu \nu}$, sabemos$F_{\mu \nu} = \eta_{\mu \rho}F^\rho{}_{\nu}$por lo que obtenemos$E_i = -F_{0i}$

Desde,$F^{\mu \nu} = \eta^{\mu \rho}\eta^{\nu \lambda}F_{\rho \lambda}$, para$i \ne 0$obtenemos

$$E^i = F^{0i} = \eta^{00}\eta^{i i}F_{0 i} = -F_{0i} = E_i$$

---

Ahora, es bastante sencillo probar que si usamos$\eta_{\mu \nu} = \text{diag}(+1,-1,-1,-1)$, el resultado será

$$E^i = -F^{0i} = - \eta^{00}\eta^{i i}F_{0i} = F_{0i} = E_i$$

---

En ambos casos resulta que$E_i = E^i$.

En métrica euclidiana, como 3D estándar, la distinción entre co- y contra no es útil y$E_i =E^i$. Esto puede resultar confuso si se elige la métrica de Minkowski como una inversión espacial. Sin embargo, la alternativa da signos menos intuitivos (mi opinión).

E no es un vector 3D real ya que su signo cambia con la inversión del tiempo. B tampoco es un vector verdadero ya que su signo no cambia bajo la inversión del espacio. Se llama vector axial. Otro ejemplo de esto es el momento angular.