¿Por qué la fórmula para combinaciones con repetición es igual a (n+k−1)(n+k−1)(n + k - 1) elige kkk?

Te estás confundiendo en cuanto a qué papel$n$juega y qué papel juega el$r$obras de teatro. Para tratar de aclarar esto, no usaré ninguno$n$ni voy a usar$r$.

El número de soluciones enteras no negativas del siguiente sistema:

$$\begin{cases}x_1+x_2+\dots+x_a = b\\0\leq x_i\end{cases}$$

va a ser

$$\binom{a+b-1}{a-1}$$

que es lo mismo que

$$\binom{a+b-1}{b}$$

Estos son iguales debido a la bien conocida identidad que$\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}$, por ejemplo, para elegir$r$ganadores de$n$la gente y el resto ser perdedores es lo mismo que elegir$n-r$perdedores de$n$la gente en cambio y el resto ser ganadores.

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Su confusión proviene de algunas personas que eligen escribir la fórmula con$n$que representa el número de bolas y$k$el número de contenedores mientras que otras personas pueden optar por escribir$n$como el número de contenedores con$k$como el número de bolas. En el primer caso podría haberse escrito como$\binom{n+k-1}{k-1}$y en el segundo caso podría haberse escrito como$\binom{n+k-1}{k}$. Estas son la misma fórmula solo con los roles de$n$y$k$al revés!

En cualquier caso, la parte superior del coeficiente binomial será el número de bolas más el número de contenedores menos uno, y la parte inferior será el número de contenedores menos uno (o equivalentemente, el número de bolas ) . No intente memorizar fórmulas en función de cómo aparecen... en su lugar, intente aprender fórmulas por lo que significan y lo que realmente representan .