¿Cuál es la prueba combinatoria para la fórmula de S(n,k)S(n,k)S(n,k) - Números de Stirling de segunda especie?

Question

¿Cuál es la prueba combinatoria para la fórmula de S(n,k)S(n,k)S(n,k) - Números de Stirling de segunda especie?

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Matemáticas discretas

lapin

¿Cuál es la demostración combinatoria de la fórmula de los números de Stirling de segunda clase?

{\binom{norte}{k}} = \frac{1}{k!} \sum_{j = 0}^{k} (- 1)^{k - j} (\binom{k}{j}) j^{norte}

${n\brace k}=\frac1{k!}\sum_{j=0}^k(-1)^{k-j}\binom{k}jj^n$

dónde ${n\brace k} = S\left(n,k\right)$ es el número de particiones establecidas de un fijo $n$ -conjunto de elementos en $k$ partes.

EuYu

Echa un vistazo a estas notas , apartado 7.3. La suma alterna debería invitarlo inmediatamente a pensar en un argumento de inclusión/exclusión.

Respuestas (1)

¿Cuál es la prueba combinatoria para la fórmula de S(n,k)S(n,k)S(n,k) - Números de Stirling de segunda especie?

Echa un vistazo a estas notas , apartado 7.3. La suma alterna debería invitarlo inmediatamente a pensar en un argumento de inclusión/exclusión.

pedro · Answer 1

Contar funciones no sobreyectivas $[n]\to [k]$ . Usar inclusión-exclusión mediante funciones de conteo $A_i$ que pierden un elemento en particular $i\in [k]$ y luego considerar $A_1\cup A_2 \cup \dots \cup A_k$ .

¿Cuál es la prueba combinatoria para la fórmula de S(n,k)S(n,k)S(n,k) - Números de Stirling de segunda especie?

lapin

EuYu

Respuestas (1)

pedro

Demostrar la identidad (k2)(k2)k \choose 2 + (kk−2)(kk−2)k \choose k-2 + k2k2k^2 = (2k2)(2k2)2k \choose 2, donde k≥2k ≥2k\geq2 usando una prueba combinatoria.

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