¿Cuántos números únicos se pueden obtener al multiplicar dos números naturales menores que NNN?

La pregunta parece simple, pero no puedo entender cómo contarla correctamente, o incluso dar una buena estimación. Yo tampoco encuentro la respuesta.

tenemos dos numeros enteros$1 < a,b < N$, cuántos productos únicos de$a \cdot b$¿hay? La posible simplificación podría ser que$N$es también un número primo, ya que también me interesa una buena estimación. Mi pregunta más básica es menos que$O(N^2)$, pero el recuento real parece más interesante.

Esto parece relacionado con ¿Cuántas combinaciones únicas de$n$los números están ahí al multiplicar$x$¿números? , aunque el respondedor hace una suposición que es un asesino en mi opinión, todos los productos son distintos (" a menos que tengan que hacerlo ", lo que, creo, significaba conmutatividad de la multiplicación). En lo anterior la afirmación es claramente falsa. P.ej$1 \cdot 4 = 2 \cdot 2$o$4 \cdot 4 = 2 \cdot 8$.$24$también aparecería bastantes veces.

Que he probado:

El límite superior obvio es$N^2$lo cual es una clara sobreestimación (incluso si lo dividimos por 2 debido a la conmutatividad) - no podemos obtener ningún compuesto que involucre números primos$p_i$como$N < p_i < N^2$.

Mi enfoque fue contar números primos y asumir que todos los números posibles son compuestos de ellos, la respuesta de la pregunta citada podría usarse entonces, pero esto tampoco es cierto. Por ejemplo, para$N=5$tenemos que tratar$4$como un ( pseudo ) primo para obtener$20$.

No puedo entender cómo contar los números para ser excluidos de$N^2$, o cuál incluir y cuándo. Tenía idea de que todos los números mayores que$\sqrt{N}$(o tal vez$N/2$) pueden tratarse como esos pseudo-primos, pero no estoy seguro de si esta es la forma correcta.