Dado un conjunto de geodésicas curvas en un espacio 2D, ¿hay alguna forma de determinar la forma geométrica de dicho espacio?

La cantidad que le gustaría obtener es la métrica , que caracteriza completamente la forma de un espacio (variedad de Riemann, para ser más precisos). Desafortunadamente, conocer incluso cada geodésica en una variedad de Riemann no determina de manera única la métrica. Consulte, por ejemplo, esta discusión: https://mathoverflow.net/questions/132244/can-one-recover-a-metric-from-geodesics .

Como se explica allí,$\mathbb{R}^4$con métrica euclidiana o de Minkowski produce el mismo conjunto de geodésicas, es decir, líneas rectas, por lo que, en general, no es posible obtener la métrica solo a partir de las geodésicas. Otras nociones de forma, como el tensor de curvatura y la curvatura seccional, se definen en términos de esta métrica.

Este problema es un caso de obtención de propiedades locales a partir de propiedades globales . La métrica es una cantidad local; depende solo del punto elegido de la variedad y de un vecindario local a su alrededor. Las geodésicas, por otro lado, conectan puntos en la variedad que pueden ni siquiera estar en el mismo gráfico de coordenadas , apelando a una estructura global más grande de la variedad.

Hay una variedad de teoremas que se ocupan de la relación entre las propiedades locales y globales en la geometría de Riemann, un ejemplo prolífico de los cuales es el teorema de Hopf-Rinow. Esto te dice que una variedad de Riemann es un espacio métrico completo si y solo si es geodésicamente completa, es decir, si en cualquier punto puedes extender una geodésica infinitamente lejos en cualquier dirección, la métrica en tu espacio es tal que la variedad es completo _ Podemos deducir algunas propiedades interesantes como esta, pero no podemos determinar completamente la métrica a partir de la información sobre las geodésicas.

Del conjunto de geodésicas, como las respuestas anteriores, se puede determinar parcialmente la forma del espacio-tiempo. Sin embargo, sabiendo un poco más de información, la métrica se puede delimitar completamente en una vecindad de cada punto. Creo que es un cálculo útil, porque representa cómo podemos, como observadores dentro del espacio-tiempo, determinar la naturaleza del mismo a través de experimentos.

El argumento es un bosquejo del dado en la Sección 3.2 en " Estructura a gran escala del espacio-tiempo " por Hawking y Ellis"

Dados los vectores nulos del espacio-tiempo, la forma funcional de la métrica está determinada por la causalidad local y el contenido material.

• Parte 1: Geodésicas y relación de vector nulo

Considere un observador en el espacio-tiempo en un punto$p$. El observador puede arrojar partículas de prueba que se moverán bajo geodésicas no espaciales. El vector tangente de la geodésica es un elemento de$T_p$. Lanzar suficientes partículas de prueba siguiendo diferentes geodésicas (lo que equivale a conocer todas las geodésicas temporales que pasan por$p$) podemos determinar el cono nulo.

En palabras simples, arrojar partículas desde$p$y viendo a qué puntos de la multiplicidad se puede llegar, se puede determinar el cono nulo como límite de tal hipersuperficie.

• Parte 2: El cono nulo determina la forma funcional de la métrica hasta un factor conforme.

Consideremos conocidos todos los vectores del cono nulo, así como los vectores temporales (es decir, podemos distinguir qué geodésicas son causales en nuestro espacio-tiempo). Entonces todo vector del espacio-tiempo que no sea nulo ni temporal, debe ser espacial.

Dejar$\mathbf{T}$ser un vector temporal, y$\mathbf{S}$un vector espacial. Entonces existen dos valores de$\lambda\in\mathbb{R}-\{0\}$para cual$\mathbf{T}+\lambda\mathbf{S}$es nulo, entonces

Este es un polinomio en$\lambda$por lo que las raíces$\lambda_1,\lambda_2$son conocidos (dado que conocemos todos los vectores y su carácter, podemos determinar para un par dado$\mathbf{T},\mathbf{S}$cual$\lambda$marcas$\mathbf{T}+\lambda\mathbf{S}$nulo), entonces es cierto que:

Entonces, la relación entre la norma de un vector temporal y espacial se puede encontrar conociendo el cono nulo.

Ahora deja$\mathbf{W},\mathbf{Z}$sean dos vectores no nulos, entonces

Cada uno de los términos en el RHS se puede conectar a$\mathbf{g}(\mathbf{S},\mathbf{S})$usando diferentes valores de$\lambda_1,\lambda_2$. Sor por cada par$\mathbf{W},\mathbf{Z}$, El valor de$\mathbf{g}(\mathbf{W},\mathbf{Z})$se conoce hasta un factor$\mathbf{g}(\mathbf{S},\mathbf{S})$.

• Parte 3: El contenido de material determina el factor de conformidad hasta un calibre de medición.

Por ahora tenemos eso$\mathbf{\hat{g}}=\Omega^2\mathbf{g}$dónde$\mathbf{g}$es conocida.

Sea el tensor de cantidad de movimiento de energía para los campos materiales$T^{ab}$, satisfactorio$\nabla_aT^{ab}=0$. Dado que el espacio-tiempo debe ser localmente Minkowsky (equivalente a tomar coordenadas normales), existe una vecindad de$p$en el que podemos definir "vectores casi asesinos", tomando los vectores asesinos del espacio-tiempo de minkowsky$K_a$. Desde$K_aT^{ab}$es una corriente conservada en Minkowsky, casi se conservará en nuestro entorno, en el sentido de que la primera aproximación se desvanece. En particular, eso significa que la conservación de la energía y la cantidad de movimiento se mantienen aproximadamente en la vecindad de$p$.

Dada la geodésica temporal con respecto a la métrica$\mathbf{g}$trayectoria de una partícula$\gamma(t)$con vector tangente$\mathbf{K}=\partial_t$, la ecuación geodésica dice:

Desde$\gamma$es una geodésica con respecto$\mathbf{g}$, el primer término desaparece. Considerando otra curva$\gamma^\prime$cuyo vector tangente no es paralelo a$\mathbf{K}$ $\Omega$se puede encontrar hasta un factor constante. Este factor constante corresponde a una normalización arbitraria (es decir, la elección de una medida de tiempo).

No estoy seguro de si esto es exactamente lo que está buscando, pero el teorema de Synge es un resultado clásico en la geometría de Riemann que relaciona la curvatura con la topología. En la demostración del teorema, se realiza esencialmente un análisis de estabilidad de geodésicas cerradas, que relaciona las propiedades de las geodésicas con la curvatura de la variedad. Esto implica tomar la segunda variación del funcional de longitud de arco, que como era de esperar resulta con un término proporcional al tensor de curvatura. Al examinar cómo se comportan las geodésicas cerradas bajo pequeñas variaciones, se pueden sacar conclusiones sobre las propiedades globales del espacio (es decir, su topología). Para ver un ejemplo de cómo funciona esto relacionado con su pregunta inmediata sobre superficies, considere las geodésicas cerradas de$S^2$. Estos son grandes círculos. Cualquiera de estas geodésicas se puede contraer con una pequeña variación, por ejemplo, desplazándolas ligeramente hacia uno de los polos. Al repetir este proceso, se puede reducir la geodésica a un punto. Esto está claramente relacionado con el hecho de que$S^2$simplemente está conectado. Espero que esto haya ayudado.