ABCDABCDABCD es un cuadrilátero convexo. Si ∠BAC=10°∠BAC=10°\ángulo BAC=10°, ∠CAD=40°∠CAD=40°\ángulo CAD=40°, ∠ADB=50°∠ADB=50°\ángulo ADB=50 °, ∠BDC=20°∠BDC=20°\angle BDC=20°, luego encuentra ∠CBD∠CBD\angle CBD.

Question

ABCDABCDABCD es un cuadrilátero convexo. Si ∠BAC=10°∠BAC=10°\ángulo BAC=10°, ∠CAD=40°∠CAD=40°\ángulo CAD=40°, ∠ADB=50°∠ADB=50°\ángulo ADB=50 °, ∠BDC=20°∠BDC=20°\angle BDC=20°, luego encuentra ∠CBD∠CBD\angle CBD.

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Oshawott

$ABCD$ es un cuadrilátero convexo. Si $\angle BAC=10°$ , $\angle CAD=40°$ , $\angle ADB=50°$ , $\angle BDC=20°$ , entonces busca $\angle CBD$ .

El problema apareció en un concurso local de matemáticas el mes pasado. Sé que este tipo de problemas de persecución de ángulos se denominan ángulos adventicios, que se analizan en este artículo de wikipedia . Pero como esto no es un $80$ - $80$ - $20$ triángulo, creo que este es un problema diferente y no pude resolver el problema por completo. Para comprender este tipo de problemas de seguimiento de ángulos, traté de resolver el problema tanto de manera trigonométrica como geométrica. Aquí están mis trabajos para hacer eso:

Solución trigonométrica:
Sea $P$ ser la intersección de $AC$ y $BD$ . Entonces, aplicando la regla del seno en $\triangle PAB$ , $\triangle PBC$ , $\triangle PCD$ y $\triangle PAD$ y multiplicándolos tenemos

pecado (X) pecado (70 °) pecado (50 °) pecado (10 °) = pecado (90 - X) pecado (20 °) pecado (40 °) pecado (80 °)

$\sin(x)\sin(70°)\sin(50°)\sin(10°)=\sin(90-x)\sin(20°)\sin(40°)\sin(80°)$

⟹ broncearse (X) broncearse (60 ° + 10 °) broncearse (60 ° - 10 °) broncearse (10 °) = 1.

$\implies \tan(x)\tan(60°+10°)\tan(60°-10°)\tan(10°)=1.$ Usando la calculadora, encontré

x = 60 °

$x=60°$ . Pero como el concurso no permite el uso de calculadoras, creo que no se puede resolver la ecuación sin saber el valor de

\tan (10 °)

$\tan(10°)$ . Entonces, necesito una solución trigonométrica que no use calculadoras y no use el valor de

\tan (10 °)

$\tan(10°)$ .

Solución geométrica:
Para resolver el problema geométricamente, noté que $\triangle ABD$ y $\triangle ACD$ ambos son isósceles con $AB=BD$ y $AC=AD$ respectivamente. Entonces traté de hacer un triángulo equilátero. Pero no sé cómo hacer eso.
También intenté dibujar círculos con centro. $B$ y arco $AD$ . Pero $C$ no miente en el círculo como $\angle ACD=70°$ . Entonces, no pude continuar más. Y lo mismo para círculo con centro $A$ y arco $CD$ .

Entonces, necesito completar mis soluciones. Cualquier idea útil es bienvenida.

Respuestas (3)

ABCDABCDABCD es un cuadrilátero convexo. Si ∠BAC=10°∠BAC=10°\ángulo BAC=10°, ∠CAD=40°∠CAD=40°\ángulo CAD=40°, ∠ADB=50°∠ADB=50°\ángulo ADB=50 °, ∠BDC=20°∠BDC=20°\angle BDC=20°, luego encuentra ∠CBD∠CBD\angle CBD.

XIC22 · Answer 1

ingrese la descripción de la imagen aquí

Comienza construyendo un triángulo equilátero. $AMD$ como se muestra en el diagrama de arriba. Tenga en cuenta que desde $AB=BD$ , entonces $\sphericalangle AMB=\sphericalangle BMD=30^\circ$ por simetría. Calculamos fácilmente $\sphericalangle MAB=10^\circ$ que, desde $AM=AC$ , implica $\triangle AMB\cong\triangle ABC$ . De este modo, $\sphericalangle AMB=\sphericalangle ACB=30^\circ$ y entonces el ángulo requerido es de hecho igual a $60^\circ$ .

heroupup · Answer 2

Teorema.

broncearse (X + π / 3) broncearse (X - π / 3) broncearse X = - broncearse 3 X .

$\tan (x + \pi/3) \tan (x - \pi/3) \tan x = -\tan 3x.$

Prueba. Dejar $y = \tan x$ . Entonces

broncearse (X \pm π / 3) = \frac{broncearse X \pm broncearse π / 3}{1 \mp broncearse X broncearse π / 3} = \frac{y \pm \sqrt{3}}{1 \mp y \sqrt{3}},

$\tan (x \pm \pi/3) = \frac{\tan x \pm \tan \pi/3}{1 \mp \tan x \tan \pi/3} = \frac{y \pm \sqrt{3}}{1 \mp y \sqrt{3}},$ y

broncearse 2 X = \frac{2 broncearse X}{1 - broncearse X^{2}} = \frac{2 y}{1 - y^{2}} .

$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan x^2} = \frac{2y}{1-y^2}.$ Entonces

\begin{aligned} broncearse 3 X & = \frac{broncearse X + broncearse 2 X}{1 - broncearse X broncearse 2 X} \\ = \frac{y + \frac{2 y}{1 - y^{2}}}{1 - \frac{2 y^{2}}{1 - y^{2}}} \\ = \frac{y (3 - y^{2})}{1 - 3 y^{2}} \\ = - \frac{(y + \sqrt{3}) (y - \sqrt{3})}{(1 - y \sqrt{3}) (1 + y \sqrt{3})} y \\ = - broncearse (X + π / 3) broncearse (X - π / 3) broncearse X . \end{aligned}

$\begin{align} \tan 3x &= \frac{\tan x + \tan 2x}{1 - \tan x \tan 2x} \\ &= \frac{y + \frac{2y}{1-y^2}}{1 - \frac{2y^2}{1-y^2}} \\ &= \frac{y(3-y^2)}{1-3y^2} \\ &= -\frac{(y + \sqrt{3})(y - \sqrt{3})}{(1-y\sqrt{3})(1+y\sqrt{3})} y \\ &= -\tan (x+\pi/3) \tan (x-\pi/3) \tan x. \end{align}$

Por supuesto, este no es el enfoque más simple, pero satisface los criterios que especificó para una prueba trigonométrica.

TEA · Answer 3

Usamos el resultado

pecado X pecado (\frac{π}{3} + X) pecado (\frac{π}{3} - X) = \frac{1}{4} pecado 3 X

$\sin x \sin\left(\frac{\pi}{3}+x \right)\sin \left(\frac{\pi}{3}-x \right) =\frac{1}{4}\sin 3x$

Usando la ley de los senos en triángulos $CPD,PDA,PAB,BPC$ , terminamos con

broncearse X = \frac{pecado (\frac{π}{9}) pecado (\frac{2 π}{9}) pecado (\frac{4 π}{9})}{pecado (\frac{π}{18}) pecado (\frac{5 π}{18}) pecado (\frac{7 π}{18})}

$\tan x=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{9} \right) \sin\left(\frac{2\pi}{9} \right) \sin \left(\frac{4\pi}{9} \right)}{ \sin\left(\frac{\pi}{18} \right) \sin\left(\frac{5\pi}{18} \right) \sin \left(\frac{7\pi}{18} \right)}$

= \frac{pecado (\frac{π}{3})}{pecado (\frac{π}{6})} = \sqrt{3}

$=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3} \right)}{\sin \left(\frac{\pi}{6} \right)}=\sqrt{3}$

De lo cual se sigue que $x=\frac{\pi}{3}$ , suponiendo convexidad

ABCDABCDABCD es un cuadrilátero convexo. Si ∠BAC=10°∠BAC=10°\ángulo BAC=10°, ∠CAD=40°∠CAD=40°\ángulo CAD=40°, ∠ADB=50°∠ADB=50°\ángulo ADB=50 °, ∠BDC=20°∠BDC=20°\angle BDC=20°, luego encuentra ∠CBD∠CBD\angle CBD.

Oshawott

Respuestas (3)

XIC22

heroupup

TEA

En △ABC△ABC\triangle{ABC}, ∠ABC=45∘∠ABC=45∘\angle ABC=45^ \circ. XXX es un punto en BCBCBC tal que BX=13BCBX=13BCBX=\frac{1}{3}BC y ∠AXC=60∘∠AXC=60∘\angle AXC=60^ \circ. Encuentra ∠ACB∠ACB\ángulo ACB.

Demostrando que el circuncentro está en la altura

Hallar el ángulo de dos triángulos isósceles congruentes inscritos en una semicircunferencia.

Supongamos que ∠BAC=60∘∠BAC=60∘\ángulo BAC = 60^\circ y ∠ABC=20∘∠ABC=20∘\ángulo ABC = 20^\circ. Un punto EEE dentro de ABCABCABC satisface ∠EAB=20∘∠EAB=20∘\angle EAB=20^\circ y ∠ECB=30∘∠ECB=30∘\angle ECB=30^\circ.

Encontrar un ángulo faltante en la imagen que contiene un hexágono regular y un cuadrado

Maximizar un ángulo basado en ciertas restricciones

Encuentre ∠CAD∠CAD\angle CAD en la siguiente figura.

Definición formal de funciones trigonométricas

¿Cuántos ángulos tienen medidas enteras en grados y son ángulos interiores de un triángulo de lados enteros?

Demuestra que si las rectas FPFPFP y GQGQGQ se intersecan en MMM, entonces ∠MAC=90∘∠MAC=90∘\angle MAC = 90^\circ.