En △ABC△ABC\triangle{ABC}, ∠ABC=45∘∠ABC=45∘\angle ABC=45^ \circ. XXX es un punto en BCBCBC tal que BX=13BCBX=13BCBX=\frac{1}{3}BC y ∠AXC=60∘∠AXC=60∘\angle AXC=60^ \circ. Encuentra ∠ACB∠ACB\ángulo ACB.

Coloque una perpendicular desde el punto$C$en$AX$y sean los pies de esta perpendicular$D$.

$DX=\frac {1}{2}XC=BX$y posteriormente$BD=DC$y$AD=BD$por simple seguimiento de ángulo. De este modo$D$es el circuncentro de$\triangle ABC$y$\angle ACB=90-15=75^{\circ}$

Dibuja un perpetrador de$C$a$AX$. No fue$\displaystyle \angle AXC = 60^0, OX = \frac{CX}{2} = BX$

Como$\angle AXB = 120^0$,$\angle XOB = \angle OBX = 30^0$. También,$\angle OCX = 30^0$.

Entonces$OB = OC$.

Ahora$\angle ABO = \angle XAB = 15^0 \implies OA = OB$

$OA = OB = OC$y por lo tanto$O$es el circuncentro de la$\triangle ABC$.

Como$\angle AOB = 150^0$,$\angle ACB = 75^0$.

Teniendo en cuenta la figura tenemos:

$CH=\frac{3R}2$

donde R es el radio del círculo del triángulo AXC. También:

$BC=\frac{CH}{cos 45^o}=\frac{3R}{\sqrt 2}\rightarrow BC^2=\frac{9R^2}2\rightarrow \frac23 BC^2=3R^2$

$CX\cdot BC=\frac 23 BC\cdot BC=\frac 23 BC^2=CD^2\rightarrow CD^2=\frac 23 3R^2=2R^2$

En el triángulo ACX tenemos:

$\frac{AC}{sin 60^o}=2R\rightarrow \frac{AC^2}{\frac 34}=4R^2\rightarrow AC^2=3R^2=CD^2\rightarrow CD=CA$

Es decir, CA es tangente a la circuncircunferencia de AXC y$\angle OAC=90^o$. También$\angle XOA=90^o$lo que significa$XO\parallel AC$y$\angle BOX=30^o$

También$\angle EAC=\frac{\angle BOX}2 =15^o$

$\Rightarrow \angle{ACB}=90-15=75^o$