¿Cómo probar este diferencial matricial para la teoría de Born-Infeld?

Para cualquier matriz$A$:

$$\delta \mathrm{tr}\, A = \mathrm{tr}\, \delta A$$ desde $\mathrm{tr}$es solo una combinación lineal de los elementos de la matriz de su argumento, y $\delta$es lineal. Escribiendo los índices explícitamente ( $\delta_{ij}$es delta de Kronecker): $$\delta \, \mathrm{tr} A = \delta A_{ii} = \delta (\delta_{ij} A_{ij}) = \delta_{ij} \delta A_{ij} = \delta_{ij} (\delta A)_{ij} = \mathrm{tr} \, \delta A$$

Ahora tomemos$A= \log (1-M^2)$y continuar:

$$\mathrm{tr}\,\delta \log (1-M^2) =\mathrm{tr}\,\left[ -(1-M^2)^{-1} \delta (M^2) \right]= -2 ({(1-M^2)^{-1}})_{ij} M_{jk} \delta M_{ki}$$ ahora escribiendo $$({(1-M^2)^{-1}})_{ij} M_{jk} = \left(\frac{M}{1-M^2}\right)_{ik}$$ tienes tu resultado para cualquier matriz $M$.

En el presente caso, las cosas son ligeramente diferentes porque hay que tratar los índices de Lorentz correctamente y la traza se calcula contrayendo con la métrica inversa$\eta^{\mu\nu}$, así por ejemplo

$$\mathrm{tr}\,\left[(1-M^2)^{-1} \delta (M^2) \right] = ((1-M^2)^{-1})^{\alpha\beta} \delta (M^2)_{\beta\alpha},$$ pero el argumento clave es el expresado antes.