Cuantificación integral de trayectoria de la teoría de cuerdas bosónicas

Estaba leyendo mis notas sobre la cuantificación de la integral de trayectoria de la teoría de cuerdas bosónicas cuando me surgió una pregunta general sobre la cuantificación de la integral de trayectoria.

La explicación intuitiva ampliamente utilizada de una integral de trayectoria es que se suman todas las trayectorias desde el punto del espacio-tiempo X al punto del espacio-tiempo y . El camino clásico tiene un peso de uno (¿es correcto?), mientras que los caminos cuánticos tienen un peso de Exp ⁡ ( i S ) , dónde S es la acción de la teoría que estás considerando. En mi situación actual tenemos la integral de trayectoria de Polyakov:

Z = ∫ D X D gramo a b mi i S pag [ X , gramo ] ,
dónde S pag es la acción de Polyakov. He visto la derivación de la integral de ruta por los núcleos de Matrix en mi curso introductorio de QFT. Un problema que se me ocurrió es que si los caminos cuánticos son realmente "ponderados" por el Exp ⁡ ( i S pag ) , solo tiene sentido si R mi ( S pag ) = 0 y I metro ( S pag ) ≠ 0 . Si no fuera así, la integral parece estar mal definida (no convergente) y en el caso de una exponencial oscilante no podemos hablar realmente de un factor de peso ¿no? ¿Es correcto este razonamiento? ¿Es el valor de la acción de Polyakov puramente imaginario para cada campo? X m y gramo a b ?

En segundo lugar, cuando uno empuja a través del cálculo de la integral de trayectoria de Polyakov, obtiene la función de partición

Z ^ = ∫ D X D b D C mi i ( S pag [ X , gramo ] + S gramo [ b , C ] ) ,
donde tenemos una acción fantasma y la acción Polyakov. Mi profesor ahora afirma que esta es una tercera versión cuantizada de la teoría de cuerdas (hemos visto cuantización covariante y de cono de luz).

Preguntas :

  1. Me pregunto dónde se lleva a cabo la cuantización. ¿Ocurre al principio, cuando se postula la integral de trayectoria sobre la base de la similitud con QFT? Busco un punto bien definido, como la promoción a operadores con relaciones de conmutación en la cuantización del cono de luz.

  2. Finalmente, en un cálculo de la anomalía de Weyl y la dimensión crítica, el profesor cuantifica los campos fantasma. Esto no tiene sentido para mi. Si la integral de trayectoria es una cuantización de la teoría de cuerdas, ¿por qué tenemos que cuantizar los campos fantasma después de nuevo?

La primera parte de esta pregunta parece estar relacionada con esta pregunta: physics.stackexchange.com/q/61139 @LubošMotl dio una buena respuesta allí. Además, puede ayudar considerar una rotación de Wick para que el exponente sea real y negativo, como ingenuamente esperas, como se menciona en la respuesta.

Respuestas (2)

  1. En el espacio-tiempo de Minkowski, la acción tiene que ser real . Por cierto, eso es necesario para que el límite clásico dé el principio de acción mínima . Sí, tales sumas están mal definidas, por lo que algunos podrían decir que la teoría se define matemáticamente al continuar analíticamente (rotación de Wick) hasta el tiempo euclidiano, donde tiene buenos pesos que decaen exponencialmente. Obtendrá puntos de silla dados por los extremos de la acción y podrá expandirse alrededor de esas soluciones y tratar la teoría perturbativamente.

  2. Piense en la integral de trayectoria en QM. Pasar de caminos de acción mínima (mecánica clásica) a una suma ponderada sobre todos los caminos nos da la mecánica cuántica ("primera cuantización"). Pasar de la mecánica cuántica a QFT implica una suma de todas las configuraciones de campo ("segunda cuantificación"). De manera similar, en el momento en que escribe la integral de trayectoria sumando todas las posibles configuraciones de cuerdas, está estudiando un sistema mecánico cuántico de cuerdas.

  3. Incluso en QFT, cuando utiliza el método Fadeev-Popov e introduce fantasmas, debe cuantizarlos para que los diagramas con fantasmas cancelen constantemente las amplitudes de (algunos) diagramas con gluones longitudinales. No encuentro una respuesta más perspicaz.

Gracias por la respuesta clara! Solo un pequeño punto con respecto a mi tercera pregunta: de hecho, tiene sentido que si consideramos una acción de varios campos, todos ellos deben cuantificarse. Mi confusión es que después de usar la integral de trayectoria para calcular la función de partición, solo la X y gramo los campos parecen estar cuantificados, mientras que los campos fantasma deben cuantificarse por separado. ¿Por qué es este el caso?
@Erik: no estoy satisfecho con mi respuesta para la tercera parte. He hecho una edición. Hay ejemplos en los que acoplamos un campo cuantificado a fuentes de fondo clásicas para obtener una teoría efectiva sensata, pero supongo que no puedes hacer nada de eso en el ejemplo de QCD ya que quieres que las contribuciones de los fantasmas cancelen las contribuciones de los gluones longitudinales. No recuerdo los detalles de la cuantización de cuerdas ahora. Responderé a tu comentario si tengo tiempo para revisar mis notas y refrescar mi memoria.
Puede dejar la pregunta abierta para una mejor respuesta, o tal vez publicar sus dudas exactas (como se expresa en el comentario) como una pregunta de teoría de cuerdas por separado. Mi respuesta fue bastante genérica, casi sin referirse a los detalles de la teoría de cuerdas.

Me temo que solo voy a proporcionar la tradición estándar aquí. No obstante, lo haré, ya que no muchos han intentado responder a esta pregunta todavía. Permítanme ver las preguntas de la imagen simplista de QM (no QFT). Tomaré la pregunta en orden inverso: ¿Cuándo cuantizamos? Bueno, nunca tenemos que hacerlo, ¡esa es la belleza (?) de las integrales de trayectoria! Simplemente finge que sus p y q son números reales que ubican la partícula en el espacio de fase. En ausencia de "potencial dependiente del momento", después del programa integral de ruta (PIP), todo lo que queda es la suma(superposición) sobre historias dándote algo de amplitud. En QFT, la extensión de esta imagen ingenua solo funciona para bosones y debe introducir complicaciones (nos de grassmann para fermiones; fantasmas adicionales para campos de calibre, etc.) para que funcione PIP (es decir, tiene un campo clásico con propiedades dadas que se suma sobre todo configuración posible). Todo esto le permite eludir la cuantificación, derivando el teorema de Wick apropiado y los diagramas de Feynman, etc. Ahora, ¿qué pasa si la acción S¿es real? De hecho, es real en QM habitual, la tradición es que solo la vecindad del camino clásico contribuye a la amplitud total que se convierte en superposición de la contribución de "amplitud" de los caminos individuales. Considere un conjunto de caminos elegidos que no está cerca de la trayectoria clásica. Dado que para ellos el factor de fase no es estacionario, en principio podrían tener valores muy diferentes entre sí. Uno espera que cuando suma estos factores de fase habrá cancelaciones de fase "salvajes" asociadas con él.

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