La teoría de cuerdas en el contexto de las prescripciones de cuantización

El núcleo de la teoría de cuerdas perturbativa tiene una formulación matemáticamente rigurosa. De hecho, gran parte de la física matemática y la comprensión matemática de la teoría cuántica de campos como tal se ha obtenido del estudio de las QFT de baja dimensión que constituyen las teorías del volumen mundial de la cuerda y las diversas branas. Por ejemplo, la axiomatización de QFT en el " FQFTEl sabor (más o menos dual a la imagen AQFT) se origina históricamente en los conocimientos adquiridos en el estudio de la cadena (topológica) (es decir, los axiomas de Moore-Seiberg). Por otro lado, las implementaciones y aplicaciones intentadas de la teoría de cuerdas central son vastas y numerosas, y cuando finalmente se trata de la fenomenología de cuerdas, el nivel habitual de rigor es el común entre los teóricos cuánticos de campos practicantes. En el otro extremo, aspectos profundos de la teoría de cuerdas que muchos investigadores consideran de relevancia metafísica, como el "panorama vacío de la teoría de cuerdas", han llevado y siguen conduciendo a especulaciones que ya no están respaldadas por ningún razonamiento disciplinado.

Más en detalle:

La cuantización del modelo sigma de cuerdas se puede obtener limpiamente a través del proceso de sonido matemático de cuantización geométrica, consulte las referencias en el nLab en cuerdas: geometría simpléctica y cuantización geométrica . La famosa anomalía de Weyl de la cuerda se entiende formalmente en términos de funcionales de acción anómalos, véase, por ejemplo, ( Freed 86, 2. ). Varias otras obstrucciones a la cuantificación (anomalías cuánticas) en los campos de fondo para el modelo sigma de cuerdas, como en particular la anomalía de Freed-Witten-Kapustin, se han entendido con gran detalle en términos de obstrucciones en la cohomología diferencial, ver por ejemplo ( Distler- Freed-Moore 09 ).

Particularmente bien analizados están los dos sectores especiales de la primera teoría de cuerdas cuantizada, el de la teoría racional de campos conformes, que contiene el ejemplo de cuerdas que se propagan en variedades de grupos de Lie: el modelo de Wess-Zumino-Witten; así como el ejemplo de cadenas topológicas. De hecho, las teorías de campos conformes racionales se destacan como una clase rica y no trivial de QFT que han estado sujetas a una clasificación matemática completa (en el mismo sentido en que los matemáticos, por ejemplo, clasifican grupos simples finitos). Para obtener detalles sobre esta clasificación, consulte el nLab en FRS formalism .

Para la cadena topológica mucho más es cierto. La cuerda topológica se ha convertido efectivamente en un tema de las matemáticas puras, con su rigurosa axiomatización a través de la versión TCFT de la hipótesis-teorema del cobordismo, su formulación como simetría especular homológica matemática, su relación con la dualidad geométrica de Langlands, etc.

Pero la axiomática FQFT que sirve para formalizar matemáticamente la cadena topológica no se restringe al sector topológico, también se aplica a la cadena física. Por ejemplo , el teorema de Huang muestra que la descripción familiar de la cadena física a través del álgebra del operador de vértice es una instancia de la formalización FQFT. De hecho, en el formalismo FRS, estas dos formalizaciones, álgebras de operadores de vértice (a través de sus categorías de representaciones de tensores modulares, y TQFT combinadas a través de la correspondencia rigurosa AdS3-CFT2 y CS-WZW dan la clasificación de CFT racional). (En particular, esto dice que en esta holografía de baja dimensión y la dualidad AdS-CFT es rigurosa, por supuesto, esto está lejos, lejos de ser cierto en dimensiones más altas).

En resumen, este es un nivel de rigor con el que se entiende la QFT 2d de la hoja mundial de la cadena, que va mucho más allá de lo que normalmente se encuentra para la QFT de interacción no trivial (no libre). Y esta es la teoría completa del campo cuántico no perturbativo (¡en la hoja del mundo!), no solo la aproximación en la teoría de la perturbación.

A partir de aquí, también la teoría de campos de cuerdas (es decir, su funcional de acción), tiene una formulación completamente rigurosa en términos de óperadas y L-álgebras infinitas (Lie n-álgebras para n→∞).

Una instantánea del estado del arte de los fundamentos rigurosos de la teoría de cuerdas a partir de 2011 se encuentra en ( Sati-Schreiber 11 ).

El texto anterior con hipervínculos para todos los términos técnicos también se encuentra en el nLab en Preguntas frecuentes sobre la teoría de cuerdas -- ¿Es matemáticamente rigurosa la teoría de cuerdas? .