Cuantificación del campo monomodo en una cavidad.

1. Para el oscilador armónico cuántico, se puede demostrar que el hamiltoniano se puede expresar en términos de operadores de escalera como$H=\hbar \omega (\hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2})$dónde$[\hat{a}^\dagger, \hat{a}]=1$. Restar el término constante del hamiltoniano, que no cambia la dinámica del sistema, da$H=\hbar \omega \hat{a}^\dagger \hat{a}$.
2. Los fotones son bosones. Obedecen por tanto a relaciones de conmutación bosónicas.
3. Se supone que el modo de cavidad única es discreto.
4. Podemos definir un operador$\hat{b}^\dagger$que pone un fotón en el modo. Debido a 2 y 3, las relaciones de conmutación deben ser$[\hat{b}^\dagger, \hat{b}]=1$. Esto está de acuerdo con el oscilador armónico.
5. Asumimos que el modo está en energía$\hbar \omega'$. La energía en el modo será entonces el número de fotones en el modo veces$\hbar \omega'$. Por lo tanto$H=\hbar \omega' \hat{b}^\dagger \hat{b}$. Esto concuerda con el oscilador armónico hasta la identificación de las frecuencias.
6. Por lo tanto, hemos demostrado que el hamiltoniano del sistema y las relaciones de conmutación de los operadores de creación de partículas son los mismos. Por lo tanto, los sistemas mostrarán la misma dinámica, es decir, serán equivalentes.

¿Qué significa exactamente equivalencia formal aquí?

Que los sistemas se comporten igual dinámicamente si se realizan las identificaciones correctas. En este caso esto significa:

• Modo de cavidad = oscilador armónico
• Operador de creación de fotones de cavidad = Operador de creación de oscilador armónico
• $\omega'=\omega$

Tenga en cuenta que la razón principal por la que esto funciona es porque los fotones son bosones (por lo tanto, puede poner infinitos en un modo con la misma energía) y los niveles de energía del oscilador armónico tienen un espaciado constante (y hay infinitos).

La equivalencia formal de un campo monomodo y un oscilador armónico de masa unitaria se establece simplemente demostrando que la forma del hamiltoniano es la misma en ambos casos. ¿Es esta la condición necesaria y suficiente para la equivalencia formal?

No lo es . Puede que no sea necesario ya que puede hacer fácilmente algunas redefiniciones de operadores (como proyectar sobre una base diferente). No es suficiente ya que también necesita que los operadores tengan las mismas relaciones de conmutación.

Pero tienen las mismas relaciones de conmutación, por lo que la analogía está bien.

¿Cómo la correspondencia en hamiltonianos implica correspondencia en todas las propiedades de los operadores (sus relaciones de conmutación, su hermiticidad [...]

No es asi.

[...] su observabilidad física)?

Bueno, ahora eso puede ser bastante diferente y también dependería de cómo implemente su oscilador armónico en un sistema físico. Hm, ¿por qué no tomar algunos fotones en una cavidad y ver las cosas geniales que pueden hacer ? :)