Realce de Purcell en un ángulo: dirección de la oscilación de la carga

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Realce de Purcell en un ángulo: dirección de la oscilación de la carga

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Es bien sabido que un átomo de hidrógeno en el espacio libre preparado en un estado excitado, por ejemplo $\left| 2p_y \right\rangle$ , con el tiempo decaerá en el estado fundamental $\left| 1s \right\rangle$ . Si no es perturbado por ninguna medida del átomo o del fotón emitido, sufrirá una evolución a través de una superposición del estado excitado y fundamental.

A (t) | 1 s ⟩ + {mi}^{- i ω t} B (t) | 2 {pag}_{y} ⟩

$A(t) \left| 1s \right\rangle + e^{-i \omega t} B(t) \left| 2p_y \right\rangle$ lo que conduce a un movimiento oscilatorio de la densidad de carga a lo largo de la

y

$y$ -eje. Ver por ejemplo esta respuesta o este applet . Este dipolo oscilante provoca la emisión de un fotón con una polarización dada por la orientación del dipolo (

\hat{E} = \hat{d} = \hat{y}

$\hat{E} = \hat{d} = \hat{y}$ en este caso).

Este principio también se aplica a las moléculas, solo que con orbitales más complicados. A diferencia del átomo de hidrógeno, no son esféricamente simétricos, por lo que el momento dipolar viene dado por la geometría de la molécula. Si sabes cómo se incrusta una molécula en un cristal, también conoces la polarización de los fotones emitidos por ella.

Las cosas comienzan a complicarse cuando la molécula excitada se ve obligada a interactuar con su propia radiación dentro de una cavidad de Fabry-Pérot. Si la cavidad resuena con la transición de la molécula, el campo emitido se acumula en la cavidad. La fase relativa entre el campo y la oscilación de carga es tal que la molécula transfiere energía al campo intracavitario, haciendo que la molécula decaiga al estado fundamental más rápidamente que en el espacio libre. Esto es similar a la emisión estimulada, solo que aquí una parte de un fotón desencadena la emisión de otra parte. [También hay una explicación menos intuitiva del efecto Purcell a través de la densidad de los estados finales, como referencia, consulte Mark Fox - Quantum Optics: An Introduction, capítulo 10.]

Mi pregunta es sobre el caso en que el modo de cavidad dicta la polarización del campo. Esto sucede, por ejemplo, si hay un cristal birrefringente en la cavidad, véase, por ejemplo, Wang et al. PRX 7 (2) 021014 (2017) . La luz polarizada a lo largo del eje rápido del cristal acumula una fase de ida y vuelta diferente que la luz polarizada a lo largo del eje lento. Por lo tanto, la frecuencia de resonancia para estos dos modos propios de polarización es diferente.

Ahora imagine la siguiente situación: El modo de cavidad con polarización a lo largo del eje rápido (= $y$ -eje aquí) es resonante con el $\left| e \right\rangle \to \left| g \right\rangle$ transición de la molécula, pero el momento dipolar de transición de la molécula no está alineado con la polarización del modo de cavidad:

hay un factor de corrección $\xi^2 = \left| \hat{E} \circ \hat{d} \right|^2$ para el factor de Purcell $F_{\text{P}}$ (ecuación 10.35 en el libro de Mark Fox) que tiene esto en cuenta, pero no habla de cómo oscilan las cargas. Podría imaginar dos posibilidades diferentes, ambas no me convencen:

La densidad de carga comienza a oscilar a lo largo del eje del dipolo. El campo del modo de cavidad (polarizado a lo largo $y$ -eje) acumula y desacelera el movimiento de la carga. Pero sólo puede desacelerar el movimiento a lo largo de la $y$ -eje. El $x$ componente se amortigua tan débilmente como en el espacio libre. Entonces, después de un tiempo, el movimiento se vuelve elíptico y finalmente paralelo a la $x$ -eje.
Lo que no me gusta de este escenario es que implicaría orbitales adicionales para explicar el movimiento de la $\vec{d} = \left\langle e | \vec{x} | g \right\rangle$ eje, por lo tanto involucrando a otros orbitales, que tienen energías completamente diferentes. Además, la molécula alcanzaría el estado fundamental después de un tiempo considerablemente más largo, porque la oscilación a lo largo del $x$ -el eje decae tan lento como sin cavidad.

La densidad de carga se mueve sólo a lo largo de la $y$ -eje desde el principio, lo que significa que el campo amortigua el movimiento completo de la densidad de carga.
Esta situación también requiere orbitales adicionales. Además, asume que la molécula ya conoce su entorno al comienzo de la emisión y ajusta su comportamiento en consecuencia.

¿Cómo evoluciona realmente el centro de carga en la molécula en la cavidad birrefringente? Para simplificar, supongamos que la cavidad efectivamente solo admite este modo único y la molécula se descompone en la transición mejorada por Purcell.

| e ⟩ \to | g ⟩

$| e \rangle \to | g \rangle$ mientras que otras transiciones son mucho más lentas, como en el seguimiento del artículo citado: Wang et al. Nat. física 15 (5) 483-489 (2019) .

Ján Lalinský

1) parece más general, ¿no? ¿Por qué la molécula orientaría instantáneamente sus orbitales para alinear el promedio esperado del vector de momento dipolar con el campo externo? Este proceso debería tomar un tiempo distinto de cero, de manera similar a la relajación de los componentes de espín cuando interactúan con el campo magnético.

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@JánLalinský Cierto, 1) requiere romper menos "dogmas". Pero además del problema con los orbitales adicionales, incluso predeciría un efecto medible, que no he visto informado en ninguna parte: la ocupación del estado fundamental estaría dominada por la lenta tasa de descomposición del

x

$x$ -oscilación.

Respuestas (1)

Realce de Purcell en un ángulo: dirección de la oscilación de la carga

1) parece más general, ¿no? ¿Por qué la molécula orientaría instantáneamente sus orbitales para alinear el promedio esperado del vector de momento dipolar con el campo externo? Este proceso debería tomar un tiempo distinto de cero, de manera similar a la relajación de los componentes de espín cuando interactúan con el campo magnético.
@JánLalinský Cierto, 1) requiere romper menos "dogmas". Pero además del problema con los orbitales adicionales, incluso predeciría un efecto medible, que no he visto informado en ninguna parte: la ocupación del estado fundamental estaría dominada por la lenta tasa de descomposición del $x$ -oscilación.

Wolpertinger · Answer 1

EDITAR: Proporcionaré algunos detalles sobre la dinámica en el Escenario 1 mencionado a continuación, ya que esta parece ser la pregunta central del OP, como se aclara en los comentarios.

En el caso de una sola transición, se puede escribir una ecuación maestra para el sistema, que dice

{\dot{ρ}}_{t} = - \frac{i}{ℏ} [H_{t}, ρ_{t}] + L_{t} [ρ_{t}] .

$\dot{\rho}_t = -\frac{i}{\hbar} [H_t, \rho_t] + \mathcal{L}_t[\rho_t] \,.$

Aquí, $\rho_t$ es la matriz de densidad del estado fundamental y excitado de la transición única ( $t$ para "transición"). Por lo tanto, esta ecuación maestra solo contiene los grados de libertad de la transición, porque hemos trazado los grados de libertad del campo dentro de la aproximación de Markov, como es habitual en la óptica cuántica débilmente acoplada.

El término efectivo hamiltoniano y de Lindblad viene dado por [ 1 ]

H_{s} = ℏ (ω_{t} + j_{t}) \frac{{\hat{σ}}^{z}}{2},

$H_s = \hbar (\omega_t + J_t) \frac{\hat{\sigma}^z}{2} \,,$

y

L_{t} [ρ_{t}] = \frac{Γ_{t}}{2} (2 {\hat{σ}}^{-} ρ_{t} {\hat{σ}}^{+} - {\hat{σ}}^{+} {\hat{σ}}^{-} ρ_{t} - ρ_{t} {\hat{σ}}^{+} {\hat{σ}}^{-}) .

$\mathcal{L}_t[\rho_t] = \frac{\Gamma_t}{2}\left( 2\hat{\sigma}^-\rho_t\hat{\sigma}^+ - \hat{\sigma}^+\hat{\sigma}^-\rho_t - \rho_t\hat{\sigma}^+\hat{\sigma}^-\right) \,.$

Esta es la ecuación maestra más simple que puede obtener, con una tasa de decaimiento $\Gamma_t$ y un cambio de frecuencia correspondiente $J_t$ y generalmente se aplica a una sola transición en un entorno dieléctrico, siempre que estemos en un acoplamiento débil (ver [ 1 ] para más detalles. $\omega_t$ es la frecuencia de transición desnuda en el espacio libre.

La pregunta principal es: ¿cuáles son los valores de $\Gamma_t$ y $J_t$ en el entorno electromagnético? Esto es lo que está influenciado por la estructura del entorno, como la cavidad o las propiedades del material. Como también se indica a continuación [ 1 ]

Γ_{t} = \frac{2 ω_{t}^{2}}{ℏ ϵ_{0} C^{2}} d_{t} \cdot I metro [GRAMO (r_{t}, r_{t}, ω_{t}] \cdot d_{t}^{*},

$\Gamma_t = \frac{2\omega_t^2}{\hbar\epsilon_0c^2} \mathbf{d}_t\cdot \mathrm{Im}[\mathbf{G}(\mathbf{r}_t, \mathbf{r}_t, \omega_t] \cdot \mathbf{d}_t^* \,,$

y de manera similar

j_{t} = \frac{ω_{t}^{2}}{ℏ ϵ_{0} C^{2}} d_{t} \cdot R mi [GRAMO (r_{t}, r_{t}, ω_{t}] \cdot d_{t}^{*} .

$J_t = \frac{\omega_t^2}{\hbar\epsilon_0c^2} \mathbf{d}_t\cdot \mathrm{Re}[\mathbf{G}(\mathbf{r}_t, \mathbf{r}_t, \omega_t] \cdot \mathbf{d}_t^* \,.$

Mientras que en la geometría del OP, la función de Green puede ser un poco complicada, lo anterior muestra que la dinámica cualitativamente permanece igual , sin importar la geometría. Hay decaimiento y un cambio de frecuencia, eso es todo. La dinámica de carga cambiante del eje no ocurre. La razón es, como ya lo sospecha el OP: debido a la transición única, la dinámica se ha confinado a lo largo de un solo eje dado por el vector de momento dipolar.

Tenga en cuenta, sin embargo, que la situación anterior puede ser física. Dependiendo del ancho de la línea natural y de las frecuencias involucradas, la dinámica puede estar naturalmente restringida a una sola transición por las condiciones de resonancia.

Empezaré con la última pregunta.

¿Qué sucede realmente en la situación descrita?

Depende de lo que se entienda exactamente por "la situación descrita". Cuando leo la pregunta, veo algunos escenarios diferentes, mezclando el decaimiento del estado mecánico cuántico a través de transiciones dipolares y conceptos clásicos de oscilación de carga. A continuación, intentaré abordar cada uno de ellos por separado.

Escenario 1: modelo de transición única

Consideramos el siguiente modelo: Una sola transición dipolar con su momento dipolar en la dirección descrita relativa al eje lento y rápido de la cavidad. En este caso, la expresión más general de la mejora de Purcell se da en términos del tensor de Green de la estructura dieléctrica circundante. El ancho de línea mejorado de cavidad completa es (ver [1] )

Γ = \frac{2 ω_{A}^{2}}{ℏ ϵ_{0} C^{2}} d \cdot I metro [GRAMO (r_{A}, r_{A}, ω_{A}] \cdot d^{*},

$\Gamma = \frac{2\omega_A^2}{\hbar\epsilon_0c^2} \mathbf{d}\cdot \mathrm{Im}[\mathbf{G}(\mathbf{r}_A, \mathbf{r}_A, \omega_A] \cdot \mathbf{d}^* \,,$

dónde $\omega_A$ es la frecuencia de transición del átomo y $\mathbf{r}_A$ su posición. En comparación con la fórmula del libro de Mark Fox, esta fórmula es más general y no hace suposiciones como cavidades monomodo, etc. La respuesta de polarización está completamente incluida en el tensor de Green.

En particular, la mejora de Purcell es una declaración sobre la tasa de decaimiento del estado excitado a través de la transición. Esto significa que la dirección lenta y rápida se suman en cierto sentido en la fórmula anterior (debido al producto escalar en ambos lados). Por lo tanto, la propiedad de birrefringencia solo provocará una dependencia interesante de la dirección del momento dipolar, ya que el tensor de Green no es isotrópico en este caso. Sin embargo, no cambiará la dinámica de decaimiento del estado excitado, que aún decae con una tasa modificada.

Escenario 2: modelo de estado excitado único

Primero para responder a la pregunta obvia: ¿En qué se diferencia esto de un modelo de transición única? El punto es que, en general, en particular para los sistemas degenerados, el estado excitado puede decaer a través de múltiples canales a los diferentes estados fundamentales degenerados. En ese caso, tenemos que sumar sobre múltiples transiciones. $i$ , tal que

Γ = \sum_{i} \frac{2 ω_{A}^{2}}{ℏ ϵ_{0} C^{2}} d_{i} \cdot I metro [GRAMO (r_{A}, r_{A}, ω_{A}] \cdot d_{i}^{*},

$\Gamma = \sum_i \frac{2\omega_A^2}{\hbar\epsilon_0c^2} \mathbf{d}_i \cdot \mathrm{Im}[\mathbf{G}(\mathbf{r}_A, \mathbf{r}_A, \omega_A] \cdot \mathbf{d}^*_i \,,$

pero la afirmación anterior sigue siendo cierta.

Escenario 3: Un átomo realista en un estado excitado

Para el caso realista, todo depende de los parámetros y la configuración física. ¿Qué estados participan en la dinámica de decaimiento? ¿Qué canales de transición son importantes? ¿Tal vez incluso tenemos un fuerte acoplamiento que cambia fundamentalmente la dinámica de la descomposición pura al comportamiento oscilatorio? Este escenario es demasiado amplio para abordarlo en general.

En este caso general, sin embargo, son concebibles dinámicas como las descritas por el OP.

Escenario 4: Oscilación de carga clásica en el campo

Para la oscilación de carga clásica, no tenemos una noción de orbitales cuantificados o la estructura de estado definida por el átomo. En un entorno complicado como el de la cavidad birrefringente, puede ocurrir una rotación de la oscilación de la carga. Incluso es posible una separación en una oscilación multimodal.

Resumen

En el Escenario 1 y 2, no cambiará mucho, aparte de una modificación cuantitativa de la tasa de descomposición.
En el Escenario 3 y 4, pueden ocurrir dinámicas de descomposición complejas, que requieren una mayor especificación de la situación física específica.

Gracias por la respuesta. He aclarado un poco mi pregunta para dar cuenta de los detalles que has pedido. La razón por la que comencé con el átomo de hidrógeno es porque estoy tratando de comprender la dinámica fundamental involucrada sin desviarme por la complicada estructura del nivel de energía de una molécula en un cristal.
@AP gracias, ¡eso es genial! Si entiendo correctamente, ¿está interesado en el escenario 1, entonces? ¿Esa parte ya responde a su pregunta o debo agregar algún detalle sobre algún aspecto en particular?
De hecho, es su escenario 1 en el que estoy interesado. Desafortunadamente, no tengo mucha experiencia con el tensor de Green, por lo tanto, no podría escribirlo simplemente para una cavidad birrefringente. Pero veo en la referencia vinculada que conecta el campo eléctrico y la densidad de corriente, por lo que definitivamente es la herramienta matemática para responder a mi pregunta. Volviendo a lo que realmente pregunté: ¿alguna vez hiciste este cálculo? Si es así, ¿qué me puede decir sobre el movimiento de la carga? ¿Es una de las 2 posibilidades en mi pregunta o algo diferente?
@AP ¡Gracias por aclarar! He agregado algunos detalles sobre la dinámica en el Escenario 1. ¡Espero que ayude!
Gracias por la actualizacion. Lo tengo. Lo que más me ayudó fue su argumento de que el movimiento de carga está dictado por los orbitales en el primer paso de la lógica, básicamente limitando el dipolo a un 'carril'. Esto es probablemente equivalente a decir que la polarizabilidad de la molécula es extremadamente anisótropa cerca de su frecuencia de transición.
@AP Exactamente, eso está bien dicho :) ¡Me alegro de haber podido ayudar y gracias por la marca verde!

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Escenario 1: modelo de transición única

Escenario 2: modelo de estado excitado único

Escenario 3: Un átomo realista en un estado excitado

Escenario 4: Oscilación de carga clásica en el campo

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