¿Los estados coherentes de luz son 'clásicos' o 'cuánticos'?

Los estados coherentes son estados cuánticos, pero tienen propiedades que reflejan los estados clásicos en un sentido que puede precisarse.

Para ser concretos, consideremos estados coherentes en el contexto del oscilador cuántico armónico simple que tienen precisamente la expresión que escribiste en la pregunta. Uno puede demostrar los siguientes dos hechos (que le animo encarecidamente a probar por sí mismo);

• El valor esperado del operador de posición en un estado coherente es

  $$\begin{align} \langle\alpha|\hat x|\alpha\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\alpha + \alpha^*) \end{align}$$

• La evolución en el tiempo de un estado coherente se obtiene simplemente haciendo evolucionar en el tiempo su valor propio en una fase;

  $$\begin{align} e^{-it \hat H/\hbar}|\alpha\rangle = |\alpha(t)\rangle, \qquad \alpha(t):=e^{-i\omega t}\alpha. \end{align}$$ En otras palabras, si el sistema está en un estado coherente, ¡entonces permanece en un estado coherente!

Si junta estos dos hechos, encontrará que el valor esperado del operador de posición tiene el siguiente comportamiento de evolución temporal en un estado coherente:

• El valor esperado de la posición del sistema oscila como la posición de un oscilador armónico simple clásico.

Este es un sentido en el que el estado coherente es clásico. Otro hecho es que

• Los estados coherentes minimizan la incertidumbre cuántica en el sentido de que saturan el límite de incertidumbre de Heisenberg; $$\begin{align} \sigma_x\sigma_p = \frac{\hbar}{2} \end{align}$$ En la medida en que la incertidumbre es un efecto puramente cuántico, la minimización de este efecto puede interpretarse como una maximización de la "clasicidad".

Los estados coherentes, aunque estrictamente cuánticos, son "isomorfos" a los estados clásicos. También son isomorfos de la misma manera a los estados de un fotón.

Hay aplicaciones biyectivas entre cualquier par de los siguientes tres conjuntos: (i) el conjunto de todos los estados cuánticos coherentes (ii) el conjunto de todos los estados de un fotón y (iii) y el conjunto de todas las soluciones de las ecuaciones de Maxwell. Hablo más sobre esta declaración en mi respuesta aquí y también en esta aquí . Entonces, puede pensar en cualquier solución de las ecuaciones de Maxwell como que define un estado clásico o un estado cuántico coherente. Cuando hacemos esto último, explotamos siguiendo la propiedad especial del estado coherente: se define única y completamente por medio de la$\vec{E}$y$\vec{H}$observables como funciones de espacio y tiempo. Entonces, aunque estos medios superficialmente no son lo mismo que el estado cuántico, de la misma manera que muchas funciones clásicas de densidad de probabilidad, por ejemplo , Gaussiana, se definen por más parámetros que solo sus medios, para el caso especial de estados coherentes se pueden interpretar como tal (al igual que las distribuciones de probabilidad clásica exponencial y de Poisson se definen únicamente por sus medias).

Entonces, si lo desea, los estados coherentes son la forma en que integramos consistentemente los estados clásicos en la teoría cuántica mucho más grande de los campos de luz. Esta es la "ventana" del mundo clásico al mundo cuántico. Este punto de vista también subyace a la diferencia radical entre las complejidades de los estados clásicos y cuánticos: para un volumen de cuantización, hay infinitos numerables.$\aleph_0$modos electromagnéticos$\left\{(\vec{E}_j,\,\vec{H}_j)\right\}_{j=0}^\infty$.$\aleph_0$entonces es una medida de la "complejidad" de esta base, que es tanto la base de los estados de un fotón como la base de una superposición clásica de modos que resuelven las ecuaciones de Maxwell. Por otro lado, los miembros de la base de todos los estados de Fock son secuencias contablemente infinitas de números naturales como$\left.\left|n_1, n_2, n_3,\cdots\right.\right>$entonces la base misma tiene la misma cardinalidad$\aleph_1$como el continuo. El espacio de estado clásico es la suma directa de los subespacios de un fotón, el espacio de estado cuántico general, el producto tensorial, un producto contable de subespacios contablemente infinitos.

Una última propiedad de estado coherente de la que no se ha hablado en las otras respuestas es que se puede definir como un vector propio del operador de aniquilación.$a = \sqrt{2}^{-1}\left(\sqrt{\frac{m\,\omega}{\hbar}}\hat{x}+i\,\sqrt{\frac{\hbar}{m\,\omega}}\,\hat{p}\right)$y, como tal, ambos (i) saturan la desigualdad de Heisenberg ( es decir , $\Delta x\,\Delta p = \hbar$) y (ii) comparte la incertidumbre por igual entre los dos observables adimensionales de posición y momento$\sqrt{\frac{m\,\omega}{\hbar}}\hat{x}$y$\sqrt{\frac{\hbar}{m\,\omega}}\,\hat{p}$: por lo que logra un producto de incertidumbre mínimo y no tiene preferencia por dónde surge el error de medición. en normalizado$x,\,p$espacio de fase cuántica ( espacio de distribución de Wigner ), sus regiones de incertidumbre son, por lo tanto, discos de área mínima, por lo que a menudo se habla de él como el "estado más clásico" que puede existir.

Se puede representar como la imagen del estado fundamental cuántico del oscilador armónico.$\left.\left|0\right.\right>$bajo la acción del operador de desplazamiento $D(\alpha) = \exp\left(\alpha\, a + \alpha^*\,a^\dagger\right)$. Este operador "desplaza" el estado fundamental en el espacio de fase de Wigner a lo largo del vector$({\rm Re}(\alpha),\,{\rm Im}(\alpha))$pero por lo demás lo deja sin cambios. Se puede generalizar el estado coherente al conjunto más grande de estados comprimidos con la siguiente propiedad. Otra operación del operador de compresión $S(\beta) = \exp\left(\beta\, a - \beta^*\,a^\dagger\right)$deja la distribución centrada en el mismo punto y aún logra el producto de incertidumbre mínimo ( es decir , la desigualdad de Heisenberg se satura a una igualdad), pero imparte una "preferencia" a la precisión de las mediciones de uno de los observables$\hat{x},\,\hat{p}$a expensas de la precisión en el otro en el llamado estado comprimido . Estados de la forma$S(\beta)\, D(\alpha)\,\left.\left|0\right.\right>$son el conjunto completo de estados del oscilador armónico cuántico que alcanzan la saturación de la desigualdad de Heisenberg.

Si el estado coherente son de hecho los estados más clásicos (lo que significa que el valor medio de los campos EM obedece a las ecuaciones clásicas de Maxwell), el estado utilizado en el documento que mencionó no es un estado coherente (al menos en el documento arXiv), pero gato estados!

El estado$|\alpha\rangle+|-\alpha\rangle$no es un estado coherente! Es la superposición de dos estados clásicos, que es realmente lo que queremos decir con cuántica.

Dicho de otra manera, los estados coherentes forman una base con la que se puede escribir cualquier estado cuántico, pero eso no significa que todos estos estados sean tan clásicos como un estado coherente.

Se trata de qué significado le pones a las palabras "cuántico" y "clásico". El espacio de Fock y los elementos de este espacio son nociones que pertenecen a la teoría cuántica de la radiación y no tienen una relación directa con los estados de radiación en la teoría electromagnética clásica, por lo que el estado coherente puede llamarse "cuántico" por una buena razón.

Sin embargo, los estados coherentes tienen propiedades muy similares a las de las ondas estacionarias de campo electromagnético que oscilan armónicamente, como se usa en la teoría clásica de las cavidades de microondas, por lo que a menudo se denominan estados cuánticos "clásicos".

Los estados coherentes son clásicos de una manera precisa que aún no se ha establecido explícitamente, aunque Rod lo sugiere.

Suponga que desea evolucionar en el tiempo la interacción entre un estado EM coherente y la materia. Esto equivale a resolver la ecuación de Schroedinger para:

Si todo esto es cierto, hay un resultado debido a Mollow (1) que dice que hay una transformación canónica a este sistema que lo mapea al sistema:

En otras palabras, el hamiltoniano ahora tiene un potencial externo adicional dependiente del tiempo; tenga en cuenta que no hay sombrero en el$\vec{E_{k,\alpha}}$porque no es un operador de campo! Este potencial tiene la misma amplitud y frecuencia que el estado coherente inicial. El campo cuantificado todavía está presente pero comienza en el estado de vacío. Lo que esto significa es que el sistema evoluciona igual que un átomo en el potencial externo correspondiente, excepto también con la posibilidad de ser influenciado por fotones que él mismo emite (que a menudo serán insignificantes en comparación con un gran campo externo).

La conclusión es que los estados coherentes son 'clásicos' en el sentido de que pueden ser reemplazados por un potencial externo. Esto justifica, entre otras cosas, el modelo semiclásico de la luz interactuando con la materia que es omnipresente en la física atómica y de la materia condensada.

De los muchos estados mecánicamente cuánticos posibles de un oscilador (ya sea mecánico u ondas de luz), los que observamos casi exclusivamente son los estados coherentes. En cierto modo, son los estados donde la incertidumbre se distribuye uniformemente, de modo que cada cantidad incierta escala como$\sqrt{N}$por$N$cuantos (por ejemplo, fotones o cuantos de energía en un oscilador). Todo lo demás tiende a ser algo difícil de generar experimentalmente porque uno necesita acoplar estados de una manera no trivial, lo cual es algo inusual para los bosones que normalmente no interactúan que son estos cuantos. Cuando tenemos éxito en la ingeniería de estados significativamente diferentes de los estados coherentes, a menudo enfatizamos ese hecho llamándolos comprimidos (con algunas incertidumbres que crecen más rápido y otras más lentamente que$\sqrt{N}$y, por lo tanto, parece un círculo comprimido en una elipse cuando se representan juntos) o estados no clásicos.

Es probable que los protocolos cuánticos (ópticos) que encontró se basaran intencionalmente en estados coherentes simplemente porque los láseres (que emiten estados coherentes) son relativamente fáciles de conseguir y de operar, en comparación con las fuentes de luz comprimida. Sin embargo, los primeros y más fáciles protocolos para la criptografía cuántica asumen fuentes de fotones únicos (muy no clásicas y poco prácticas de construir) porque su seguridad contra un intruso potencialmente equipado con algún medio desconocido para desviar fotones duplicados es más fácil de probar y su rendimiento es mayor cuando uno no necesita hacer concesiones por eso.

Cuando el número medio de fotones es enorme, la incertidumbre de Heisenberg se vuelve insignificante y "desaparece" (formalmente parece$\hbar\to 0$). Por lo tanto, tal estado coherente se convierte en uno bastante clásico.