Límite clásico de estado coherente en el modelo de Jaynes Cummings

Estoy tratando con un ejercicio sobre el modelo de Jaynes Cummings en una aproximación resonante monomodo. La interacción hamiltoniana en la aproximación de ondas giratorias es

(I) H i norte t = gramo σ + a + gramo ∗ σ − a †

dónde a y a † son los operadores de aniquilación y creación para el estado bosónico, que se supone que está en un estado coherente | α ⟩ . σ + y σ − son los operadores de subida y bajada del átomo en la cavidad.

Ahora estoy obligado a hacer algunos cálculos y para eso tengo la pista de que H i norte t puede ser reemplazado por el valor esperado

(II) H i norte t → H C = ⟨ α | H i norte t | α ⟩ = gramo σ + α + gramo ∗ σ − α ∗

en el límite clásico | α | >> 1 .

Quiero saber por qué se justifica esta aproximación del hamiltoniano (Por qué podemos tomar (II) en lugar de (I) para nuestro hamiltoniano), en este límite.

Mis pensamientos: Desde a | α ⟩ = α | α ⟩ , nuestro hamiltoniano de interacción exacta difiere de la aproximación solo por el hecho de que a † ha sido reemplazado por a ∗ . Esto no parece demasiado descabellado, ya que es solo el conjugado complejo del valor propio que obtenemos al aplicar el operador de aniquilación en | α ⟩ . Entonces creo que de alguna manera podemos argumentar que dado que | α | >> 1 , el operador de creación no cambiará mucho el estado coherente. Pero realmente no puedo inventar un argumento sólido y las matemáticas.

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Estaba pensando que tal vez en el límite clásico, la desviación estándar de α † es despreciable frente al valor medio. Pero si no he cometido un error, tenemos

(III) S D α ( a † ) = ⟨ α | a † a † | α ⟩ − ⟨ α | a † | α ⟩ 2 = a ∗ a ∗ − ( a ∗ ) 2 = 0 ,

independiente del valor de | α | . Lo que me confunde aún más.

¿Qué estás tratando de calcular realmente? No está claro cuándo sería posible reemplazar un hamiltoniano por un elemento de matriz en particular sin conocer el contexto en el que está aplicando el hamiltoniano.
Es porque la varianza de norte ≡ | a | 2 es una pequeña fracción de la media en el límite norte → ∞ .

Respuestas (1)

Desde a | α ⟩ = α | α ⟩ para el estado coherente, se sigue que

(1) ⟨ α | a | α ⟩ = α
por normalización y eso (como sospechas) tomando el complejo conjugado:
(2) α ∗ = ⟨ α | a | α ⟩ ∗ = ⟨ α | a † | α ⟩
lo cual es cierto para cualquier α . La condición | α | ≫ 1 debe ingresar en otro lugar ya que (1) y (2) son exactos , independientemente de | α | .

He aclarado un poco la pregunta. Sé por qué el valor esperado es igual a la expresión (II). Pero me pregunto por qué podemos usar (II) en lugar de (I). Esto debe implicar el límite clásico, ya que a † | α ⟩ no es a ∗ | α ⟩ ¿bien?
@curiosity no, pero el punto es ⟨ α | a † = α ∗ ⟨ α | . La aproximación está en reemplazar algunos operadores por sus promedios, no en la forma en que se calculan los promedios.
Yo sé eso. Lo que quiero saber es por qué se nos permite hacer este reemplazo. Tiene que haber alguna manera de ver que la acción de a † | α ⟩ → α ∗ | α ⟩ en el limite | α | → ∞ .
Me parece que el límite clásico es la justificación de esta aproximación, pero no veo la conexión.
@curiosidad : a † | α ⟩ ≠ α ∗ | α ⟩ en cualquier límite. El estado coherente no es un estado propio de a † , período. Al tomar el valor promedio, no está haciendo ningún "reemplazo" del ket, sino que está reemplazando el sostén. ⟨ α | a † → α ∗ ⟨ α | . Esa es la clave: nunca tienes a † actuando sobre un ket, pero lo tienes actuando sobre un sostén; Para "generar" un sostén, debe tomar el valor promedio.
Con reemplazo me refiero al reemplazo del hamiltoniano de nuestro modelo por el sistema físico. No usamos el hamiltoniano exacto para expresar la evolución temporal del sistema, sino que usamos el valor esperado. Esto seguramente no siempre es un movimiento apropiado. Quiero saber por qué esta aproximación tiene sentido en este contexto. Por qué es una buena aproximación en el límite clásico. (y realmente creo que el límite clásico es la justificación de la aproximación, así que quiero ver la conexión)
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