Teorema óptico para el ordenamiento antinormal

En este documento: https://arxiv.org/abs/1206.3405

Consideran una matriz de densidad:

ρ = ∫ PAG ( α ) | α ⟩ ⟨ α |

Dónde | α ⟩ son estados coherentes.

Utilizándolo, podemos probar fácilmente su fórmula (5):

⟨ ( a † ) metro a norte ⟩ = Tr ⁡ [ ρ ( a † ) metro a norte ] = ∫ PAG ( α ) Tr ⁡ [ ( a † ) metro a norte | α ⟩ ⟨ α | ]

Y usamos la permutación circular de la traza + el hecho de que Tr ⁡ ( | α ⟩ ⟨ α | ) = 1 , y terminamos con :

⟨ ( a † ) metro a norte ⟩ = ∫ α norte α ∗ metro PAG ( α )
esa es su fórmula (5).

Pero no entiendo cómo podemos encontrar su fórmula (7):

Efectivamente, tendríamos:

⟨ a norte ( a † ) metro ⟩ = Tr ⁡ [ ρ a norte ( a † ) metro ] = ∫ PAG ( α ) Tr ⁡ [ ( a norte a † ) metro | α ⟩ ⟨ α | ]

Pero para continuar, necesitaría saber la acción:

( a † ) metro | α ⟩ (No recuerdo por qué exactamente, pero sé que no es α ∗ metro | α ⟩ )

O tendría que hacer la gran conmutación del poder de creación/aniquilación.

Por lo tanto, estoy un poco atascado: ¿cómo podemos probar la fórmula? ( 7 ) del articulo?

He leído las páginas: https://en.wikipedia.org/wiki/Glauber%E2%80%93Sudarshan_P_representation https://en.wikipedia.org/wiki/Optical_equivalence_theorem y todavía estoy atascado.

Lo que entiendo de la primera página es que podemos escribir la matriz de densidad:

ρ = ∫ PAG ( α ) | α ⟩ ⟨ α |

o

ρ A = ∑ j k C j k a k ( a † ) k

Y tenemos la relación. PAG ( α ) = 1 π ρ A ( α , α ∗ )

Así que creo que lo útil para usar es la fórmula con ρ A pero estoy atascado cuando lo uso para tratar de probar (7).

Respuestas (1)

Inserte un operador de unidad en el | α ⟩ -base entre a norte y ( a † ) metro . Siguiendo la notación en el papel tenemos

⟨ a norte ( a † ) metro ⟩ = tr ⁡ [ ρ a a norte ( a † ) metro ] = ∫ α 1 π ⟨ α | ρ a a norte ( a † ) metro | α ⟩ = ∫ α β 1 π 2 ⟨ α | ρ a a norte | β ⟩ ⏟ β norte | β ⟩ ⟨ β | ( a † ) metro ⏟ ⟨ β | β ∗ metro | α ⟩ = ∫ α β 1 π 2 ⟨ β | α ⟩ ⟨ α | ρ a | β ⟩ β norte β ∗ metro = ∫ β 1 π ⟨ β | ρ a | β ⟩ β norte β ∗ metro = ∫ α q a ( α ) α norte α ∗ metro .

Hemos utilizado el hecho de que I = ∫ β 1 π | β ⟩ ⟨ β | (como también se da aquí ).

No estoy seguro de entender. de hecho tu escribiste ⟨ β | α ⟩ = d α β pero nuestra base no es ortonormal ya que trabajamos con estados coherentes. Lo que es más, no estoy seguro de si podemos, para calcular la escritura de seguimiento ∫ α ⟨ α ρ a a norte ( a † ) metro | α ⟩ . De hecho, el | α ⟩ cubre más que todo el espacio (abarcan el espacio de hilbert con algo de recuperación). ¿Podría explicar por favor?
Tal vez no quedó claro que hablé de estados coherentes (hice el enlace al artículo pero no lo dije explícitamente). Edito ahora!
De hecho, me perdí un factor de 1 / π para el rastro. El resto fue una notación descuidada de mi parte, lo siento. Espero que sea más claro ahora.
Su última declaración como se indica en el comentario anterior no parece correcta. En lugar de eso, ¿por qué no traes ⟨ β | α ⟩ a la izquierda y eliminar la identidad.
No estoy seguro de a qué te refieres. Sin embargo, hubo un error en la última línea donde la integral no debería haber estado allí.
Quise decir que puedes concluir: ∫ α β 1 π 2 ⟨ α | ρ a | β ⟩ β norte β ∗ metro ⟨ β | α ⟩ = ∫ α β 1 π 2 ⟨ β | α ⟩ ⟨ α | ρ a | β ⟩ β norte β ∗ metro = ∫ β 1 π ⟨ β | ρ a | β ⟩ ⏟ H tu metro i s i − q − F tu norte C t i o norte β norte β ∗ metro .
Ah, sí, esto sí que es más elegante.
Teorema óptico para el ordenamiento antinormal
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v